二重積分について

質問

∬√xdxdy (x*x+y*y≦a*a)を極座標に変換して二重積分の値を求める問題なんですが、∬√rcosθ・rdxdyまでは分かるんですがそこからが分かりません。置換積分したら余計難しくなってしまいました。あと領域も示したいんですが、なぜか答えには1/2という数字が出ています。上の範囲を見ると半径はaになるはずなんですが。何かいい方法があれば教えてください。

回答No.3

endlessriver · ベストアンサー

x^2+y^2≦x から 0≦x.
また、y^2≦x-x^2=x(1-x).　から 0≦x(1-x). すなわち、 0≦1-x. 故に、x≦1.　併せて 0≦x≦1.
また、上の不等式をyについて解くと|y|≦√{x(1-x)}.
すなわち、　-√{x(1-x)}≦y≦√{x(1-x)}.となり、x,yの範囲が得られた。積分は∫[0,1]dx∫[-√{x(1-x)}, √{x(1-x)}]dy となり、 1-x=t の変数変換で簡単に積分が可能となり、答えは　8/15.　すなわち、1/2 にはなりません。(゜〇゜;)

極座標にすることはあまり意味が無く、積分計算も面倒です。ともあれ、範囲の条件式は r≦cosθとなります。当然、0≦r. すなわち、0≦cosθとなり、-π/2≦θ≦π/2.
積分は∫[-π/2, π/2]dθ∫[0,cosθ]dr.

お礼

分かりやすい説明ありがとうございました

回答No.2

endlessriver

積分区間をx,y>=0とします。
座標変換すると、I=∬√(r・cosθ)・dr・rdθ　となります。
(cosθ)^2=tで積分変換すると
I=(1/5)a^(5/2)∫[0,1]dt{t^(-1/4)}/√(1-t)
=(1/5)a^(5/2)B(3/4,1/2)
=(4/5)√(π)a^(5/2)Γ(3/4)/Γ(1/4)

Bはベータ関数、Γはガンマ関数。
B(m,n)=Γ(m)Γ(n)/Γ(m+n), Γ(t+1)=tΓ(t), Γ(1/2)=√(π)　を使用。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

eatern27

＞∬√xdxdy (x*x+y*y≦a*a)

この積分領域だと、x<0となる事もあると思いますが、被積分関数は√xで間違いありませんか？
(あるいは、積分領域が違うとか)

お礼

ありがとうございました

補足

すいません。領域は(x*x+y*y≦x)でした。