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二重積分使えますか?
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- stomachman
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ANo.2の方針の続きです。 x^2+y^2≦1 と x^2+z^2≦1 の共通部分は、|x|≦1, |y|≦1, |z|≦1の立方体の中に収まっている。そのうちで 1≧ y ≧ z ≧ 0, x≧0 の部分だけを見ると、対称性からこれは全体の1/16の体積を持ち、そして、 x^2+z^2 ≦ x^2+y^2 ≦1 であるから、x^2+y^2 ≦1でありさえすればx^2+z^2≦1 という条件は自動的に満たされるので、 √(1-y^2) ≧ x ≧ 0 である。 では、もう一つの円柱面でこれを切り取りましょう。すなわち 1 ≧ y ≧ z ≧ 0, y^2 + z^2 ≧ 1 の領域について x(y,z) = √(1-y^2) を積分する、ということを素直に書いてみれば、(y=z と y^2 + z^2=1の交点に注意して)二重積分 J = ∫{(√2)/2~1}( ∫{√(1-y^2)~y} x(y,z) dz )dy という表式が得られることをご確認ください。(ここで、∫{a ~b} とは、定積分の下限がa, 上限がbであるという意味です。) さて、x(y,z)はzに依らないのだから、内側の積分の外に出せて、 J = ∫{(√2)/2~1}(√(1-y^2))( ∫{√(1-y^2)~y} dz )dy これをゴリゴリ計算する。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
もし x^2 + y^2 ≦ 1、 z^2 + x^2 ≦ 1 の領域の体積というだけなら、形の対称性から、{(y,z) が(0,0), (1,0), (1,1)の三角形の中}を積分範囲として、 z^2 + x^2=1、x≧0 を満たすxを積分すれば分かります。(点(y,z)=(0,0)を除いて、この三角形の中では常にx^2 + y^2 < 1なので、x^2 + y^2 ≦ 1という条件は自動的に満たされており、考えなくて良い。) すると、 x^2 + y^2 ≦ 1、 z^2 + x^2 ≦ 1 、y^2 + z^2 ≧ 1 の領域の体積を計算するには、{(y,z) が(0,0), (1,0), (1,1)の三角形の中}∩{y^2 + z^2 ≧ 1}を積分範囲として、z^2 + x^2=1、x≧0 を満たすxを積分。 だから出来るでしょう、たぶん。
補足
ご回答ありがとうございます。 stomachmanさんの方法ですと、極座標への変数変換が不要で円柱が2本の場合の求積がスムーズに処理できました。ありがとうございます。 しかし、本題の円柱が3本の場合ですと、どうしても円周率πが出てきて正しい答え(8√2-32/3)になりませんでした。計算が間違っているかもしれませんのでもう少し考えてみます。もし何か分かりましたらお教えください。よろしくお願いします。
- sunsetrigh
- ベストアンサー率20% (5/24)
実際解いたわけではないので言うのもなんですが、 定義に照らし合わせてみましたか? また、解けると仮定して極座標変換してみましたか?
補足
どちらも行ったつもりです。三重積分も考えてみました。
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補足
返信遅くなりましてすみません。ずっと計算できるか考えておりましたところ、積分領域の範囲が√(1-y^2)~y と √2/2~1 になることが分かりました。もう少し計算を進めてみます。