- ベストアンサー
exp(-λt)とは?
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
失礼しました。 exp(-λt) つまり、 e^(-λt) で、x=(-λt) と置くと、e^x の形になるので、これを微分した (e^x)' は、 (e^x)' = {d(e^x)/dx} ×(dx/dt) = (e^x)×(dx/dt) = -λ × e^x = -λ × e^(-λt)
その他の回答 (3)
exp(-λt)とは、関数e^(-λt)(eのラムダ・ティー乗)の別の書き方です。 ^(-λt)は普通の教科書などでは、x^2みたいに上付き添え字で書かれますが、上付き添え字や下付き添え字の写植や印刷が自由自在になったのは比較的最近の事で、昔むかしはここでやっているように、^(-λt)みたいな表現を使うしかなかったようです。 それで、e^(-λt)=exp(-λt) と書いてしまえ! ・・・となったという説もあります(^^;)。
- bran111
- ベストアンサー率49% (512/1037)
微分の公式の基本中の基本だから必ず覚えて使いこなせるようにしよう。aを定数として d[exp(at)]/dt=aexp(at) (1) 質問は a=-λ の場合である。すなわち d[exp(-λt)]/dt=-λexp(-λt) (1)の証明 d[exp(x)]/dx=exp(x)は指数関数の定義のようなもの。絶対に覚えて使う。 x=atとすると(1)は d[exp(x)]/dt=(dx/dt)(d[exp(x)]/dx)=aexp(x)=aexp(at)
- trytobe
- ベストアンサー率36% (3457/9591)
自然対数の底 e の x 乗、つまり e^x は、微分しても e^x のままという、とても便利な性質があります。
関連するQ&A
- (exp(-t)-exp(-2t))/tの積分
初めて質問します。 ある問題を解いていて、 ∫(exp(-t)-exp(-2t))/t dt (0から+無限大まで積分) が解けなくて困っています。 被積分関数はtを+0に近づけると、ロピタルの定理を使って1に収束するので、[0,1]で局所可積分、[1,∞]でも上から定数で抑えられるので、可積分だと思うのですが・・・。 ガンマ関数Γ(x)を使って、Γ(0)-Γ(-1)、かとも思いましたが、Γ関数はx>0で定義されているのでした。 ご教授よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- exp(-t/T)cos(ωt)のフーリエ変換について教えてください。
フーリエ変換について質問です。 exp(-t/T)cos(ωt)のフーリエ変換に行き詰っています。積分区間は-∞→∞で ∫exp(-t/T)cos(ωt)exp(-iωt)dt (T,ωは定数)としてexp(-iωt)=cos(ωt)-isin(ωt)を利用して ∫exp(-t/T){cos(ωt)}^2dt-i∫exp(-t/T)cos(ωt)sin(ωt)dt =1/2[∫exp(-t/T){cos(2ωt)+1}dt-i∫exp(-t/T)sin(2ωt)dt] と変形し、それぞれの項について部分積分を試みたのですが、最終的に発散してしまい答えにたどり着きません。 また、答えは実数部が吸収型、虚数部が分散型のピークのグラフが描けるはずなので、どこかで超関数を用いなければならないと思うのですが、どこで使うのかも分かりません。 どなたか、よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt (∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です) 答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか? lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt exp(x^2)はtによらないので、 =lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2) exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう =lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x =lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2 これを最初の式と比べる lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =lim{x→∞}∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2 lim{x→∞}x(1-1/2x^2)∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt = 1/2 lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =x^2 / (2x^2-1)=1/2 という風に1/2が答えとして出たのですが、間違っているとこ、足りないところなどありましたらご指摘お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- e^-1/Tの積分
現在、次のような微分方程式を解かなければならず、 悪戦苦闘しています。 dx/dT=k/a*exp(-E/RT)*(1-x) この式のうち、k,a,E,Rは定数で既知なので、無視すると、 dx/dT = exp(-1/T)*(1-x) という微分方程式になります。 私はこの式をxとTの変数分離型の微分方程式と捉えて次のように変形しました。 dx/(1-x) = exp(-1/T)dT これの両辺を積分するのですが、左辺は ln{1/(1-x)} という答えになるのがわかるのですが、右辺の ∫exp(-1/T)dT という積分が解けません。 どなたか教えていただけませんでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- y=(exp(-at)-exp(-bt))/(b-a)をt=…の式にす
y=(exp(-at)-exp(-bt))/(b-a)をt=…の式にするには? yがある値をとる時のtの値を算出したいのですが、式が変換できずに困っています。 どなたか解る方がいらっしゃいましたら、解答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 非線形(expを含む)微分方程式について
対数螺旋を用いた組み合わせ滑車の運動方程式を解いていたのですが,θについて整理すると,以下のような奇奇怪怪な微分方程式になってしまいました.どうやったらθ=f(t)の形の解が得られるでしょうか... Aexp(-cθ)(θ・・ - cθ・) = 1-Bexp(2cθ)+Dexp(3θ)(θ・・+cθ・) exp : exponential θ・・ : θの2階微分(tで微分) θ・ : θの1階微分(tで微分) A, B, c : スカラーの正の値 解析解が得られるとは思っていないので,上記のような非線形方程式を,初期値から始めて時間発展で数値計算したいと思っています.Burgers方程式くらいはわかるのですが,上記のようになるとどうやったらいいのか分からず困っています. どなたか詳しい方,教えてください!
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます!