2問、倍の数（中学入試）解説をお願いします

質問

１、姉と妹ふたりあわせて66枚のシールを持っていました。姉が妹に4枚あげたので姉の枚数は妹の枚数の2倍になりました。はじめ、姉は何枚のシールをもっていましたか？
２、姉は妹の6倍の貯金がありました。姉が妹に750円あげたところ、二人の貯金は同じになりました。はじめ、姉の貯金は何円でしたか。解答解説を読んでもよくわかりません。どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.4

noname#215361

そろそろ自動的に締め切られると思いますが、未だ自主的に締め切られていないということは、理解できていないということでしょうか。
失礼ながら、寄せられた回答はどれも非常に長いので、ダメ元で簡潔にまとめてみました。
とにかく、比というものを理解すれば、あとは簡単です。

1
姉が妹に4枚あげた後でも、合計66枚は変わらず、姉の枚数は妹の枚数の2倍なので、
姉の枚数：妹の枚数=2：1
よって、全体の枚数を2+1=3としたときの姉の枚数は、全体の2/3
これから、姉が妹に4枚あげた後の姉の枚数は、66*2/3=44枚
以上から、姉が妹に4枚あげる前の姉の枚数は、44+4=48枚
2
姉は妹の6倍の貯金があったので、
姉の貯金：妹の貯金=6：1
よって、全体の貯金を6+1=7とする
姉が妹に750円あげたところ、二人の貯金は同じになったので、
姉の貯金：妹の貯金=3.5：3.5（全体の貯金が7だから）
これから、姉の減った分（姉が妹にあげた分）は6-3.5=2.5
これが750円であるから、はじめの姉の貯金は、
750/2.5*6=1800円

回答No.3

noname#212313

> １、姉と妹ふたりあわせて66枚のシールを持っていました。姉が妹に4枚あげたので姉の枚数は妹の枚数の2倍になりました。はじめ、姉は何枚のシールをもっていましたか？

　文章を文に分けて番号を振り、問題が何を言っているのか考えてみます。

01：姉と妹ふたりあわせて66枚のシールを持っていました。

　姉妹合わせて66枚のシールを持っています。最後まで読むと分かりますが、どうやら二人合わせて66枚というのは変わらないようです。姉妹以外に人からシールを貰ったり、あげたりはしないということです。

02：姉が妹に4枚あげたので

　文の途中ですが、ここでいったん切ってみます。姉から妹に4枚渡したわけですね。姉は4枚減り、妹は4枚増えた。

03：姉の枚数は妹の枚数の2倍になりました。

　02の結果、姉の枚数は妹の2倍になったわけですが、姉が妹の2人分持っていると考えることもできます。そうすると、2+1＝3ですから、シールの枚数は妹の3人分です。

04：はじめ、姉は何枚のシールをもっていましたか？

　これが問題ですね。「はじめ」ということは、03の状態を聞いているのではなく、そこから遡って、03と02を行う前に、姉が何枚持っていたかを解く必要があります。こういうときは、文章を逆順に追っていくと解きやすいことが多いです。

　03ではシール全部の枚数は妹の3人分だと分かりました。01の全部で66枚というのは、03でも有効です。ということは、03で妹の持っているシールの枚数は、

　66÷3＝22[枚]

ということになります。このとき、姉は66枚のうち妹の22枚以外を持っていますから、

　66－22＝44[枚]

持っていることになります。別の解き方として、03では姉は妹の2倍持っていることから、

　22×2＝44[枚]

と解いてもよいです。03では「姉：44枚、妹：22枚」と分かりました。02を考えると、姉は妹に4枚渡したのですから、02のときは、03のときより姉は4枚多く持っていることになります。

　44＋4＝48[枚]

　これが最初の状態です。最初に、姉は48枚持っています。妹は18枚ですね。確かめておきましょう。

01：姉と妹ふたりあわせて66枚のシールを持っていました。

　48＋18＝66枚ですから、合っています。

02：姉が妹に4枚あげたので

　姉は、48－4＝44[枚]、妹は18＋4＝22[枚]に変わったことになります。

03：姉の枚数は妹の枚数の2倍になりました。

　44÷22＝2

　確かに2倍になっています。

> ２、姉は妹の6倍の貯金がありました。姉が妹に750円あげたところ、二人の貯金は同じになりました。はじめ、姉の貯金は何円でしたか。

　１と同じようにやってみます。

01：姉は妹の6倍の貯金がありました。

　姉は妹の6人分の貯金がありますから、姉と妹を合わせて、妹の7人分（←6+1＝7）の貯金があることになります。これも、問題の最後まで読んでみると、姉と妹の合計は変わらないようです。

02：姉が妹に750円あげたところ、

　姉が750円減り、妹は750円増えています。

03：二人の貯金は同じになりました。

　すると、姉と妹が同額になったわけですね。

04：はじめ、姉の貯金は何円でしたか。

　これが問題です。

　貯金全額は妹の01での貯金の7倍なのでした。03で姉と妹が同額ということは、7÷2＝3.5ですから、03のときに、姉も妹も、01での妹の3.5人分の貯金があります。

　妹は最初より3.5－1＝2.5人分増えています。姉は2.5人分減っています。この増えたり減ったりした額が、02で姉が妹に渡した750円になります。

　750÷2.5＝300[円]

　これが妹が最初（01）に持っていた貯金です。01では姉は妹の6倍ですから、

　300×6＝1800[円]

になります。最初に姉は1800円、妹は300円持っていたことになります。確かめてみましょう。

01：姉は妹の6倍の貯金がありました。

　1800÷6＝300[円]ですから、合っています。

02：姉が妹に750円あげたところ、

　姉は、1800－750＝1050円、妹は、300＋750＝1050円になりました。

03：二人の貯金は同じになりました。

　確かに二人の貯金は同じになっています。

回答No.2

noname#208225

（２）はじめの姉の貯金を、あ円とします。妹の貯金は、い円とします。
姉は妹の６倍の貯金があったそうです。つまり、姉は妹よりも多い貯金をもっています。だから式をつくると、
あ＝６×い　となります。

姉が妹に７５０円あげた→姉の貯金は７５０円少なくなり、妹の貯金は７５０円多くなったということになります。だから、（あー７５０）＝（い＋７５０）となります。これをときます。※

あー７５０＝い＋７５０　（ここで、あ＝？の形にしてみようと考えます。そのためには　－７５０がじゃまですね。だから、左と右に、同じ数をたしてみます。７５０をたしてみましょう。）
（あー７５０）＋７５０＝（い＋７５０）＋７５０なので、
あ＝い＋１５００です。
２つの　あ＝？　がそろいましたね。おなじ　あ　なので＝でつなげてみましょう。
６×い＝い＋１５００　（い、はまとめてしまいたいですね。左と右から、い、を引いてみましょう。）
６×いーい＝いーい＋１５００（これで、右から、い、が消えました）
５×い＝１５００
い＝３００　これではじめの妹の貯金がでました。３００円ですね。
これをあ＝６×いに代入します。
あ＝６×い
あ＝６×３００
あ＝１８００　これで、はじめの姉の貯金が分かりました。姉の貯金は１８００円でした。

※の部分から、直接、あ＝６×いを代入してしまってもかまいません。

本当は、あ、や、いを使わずに、文字を使います。ｘとかｙとかを使い、このようにします。

はじめの姉が持っていた貯金をｘ円、妹が持っていた貯金をｙ円とします。
ｘ＝６ｙ・・・(1)
（ｘ－７５０）＝（ｙ＋７５０）・・・(2)

(2)を整理すると、ｘ＝ｙ＋１５００・・・(3)
(1)と(3)は等しいから、６ｙ＝ｙ＋１５００
これを解いて、５ｙ＝１５００、ｙ＝３００・・・(4)
(4)を(1)に代入して、ｘ＝６×３００＝１８００

よって、はじめに姉が持っていた貯金は１８００円である。
となります。

回答No.1

noname#208225

（１）はじめにもっていた姉の枚数をあ、妹の枚数をいとします。
姉と妹ふたりで66枚 →あ＋い＝６６
姉が妹に4枚あげた→姉ははじめの枚数から、4枚少なくなり、妹は4枚多くなった。と考えましょう。
（あー４）＝２×（い＋４）となります。これをとくと、
あー４＝２×い＋８（ここで左と右に同じ数をたします。４をたしてみましょう。）
あ＝２×い＋８＋４
あ＝２×い＋１２　となります。

これをあ＋い＝６６にあてはめます。”あ”の代わりに、（２×い＋１２）を入れるので、これを代入といいます。
（２×い＋１２）＋い＝６６　が出てきます。これをときます。
２×い＋１２＋い＝６６
３×い＋１２＝６６　（ここで左と右から同じ数をひきます。１２をひいてみます。）
３×い＝５４（左と右を３でわります）
い＝１８　これでいが出ました。妹がはじめにもっていた枚数は１８枚です。
あ＝２×い＋１２　に　代入します。　あ＝２×１８＋１２＝４８枚
これで、姉のはじめに持っていた枚数も分かりました。４８枚です。

中学ではこれを連立方程式と呼びますが、なんということもなかったと思います。
これを使わないのであれば、こうします。表を書いてみます。

姉と妹合わせて６６枚です。また、姉は４枚妹にあげたときに２倍になるというので、姉と妹に８枚の差をとり、表を書いていきます。２倍になったところが、姉が４枚少なく、妹が４枚多く持った枚数ということになります。最初の表をつくるための条件がメンドウですが、表を書くのは１枚ずつ変わっていくので楽だと思います。

姉が４枚少なくなった：６２　６１　６０　５９　５８・・・４８　４７　４６　４５　４４　４３
妹が４枚おおくなった：　４　　５　　６　　７　　８・・・１８　１９　２０　２１　２２　２３
姉が４４枚の時に、妹が２２枚となって、ちょうど２倍です。
だから、はじめの枚数は、姉が４８枚、妹が１８枚です。
とりあえずここで切ってみます。

お礼

さっそくの回答ありがとうございました。

補足

すみません、これを線分図で書くとどう書けばいいでしょうか