大学の積分

質問

この問題が全く分かりません。
どなたか教えてください。

回答No.1

tetra_o · ベストアンサー

回答させていただきます。ここでは大まかな方針について述べ、具体的な計算は質問者さんに譲ります。従って本回答では不定積分を求めることを目標とします。

(1) 部分分数に分解することが鍵になります。

定数a,b,cによって(3x^2+7x+6)/{(x+1)(x^2+3x+3)}=a/(x+1) + (bx+c)/(x^2+3x+3)と分解することを考えれば、両辺に(x+1)(x^2+3x+3)をかけて、x^2,xの係数および定数項について両辺を比較すると、次の連立方程式が得られます。

　a-b=3, 3a-b-c=7, 3a-c=6

これを解いて、a=2, b=-1,c=0を得ますから、

　(3x^2+7x+6)/{(x+1)(x^2+3x+3)}=2/(x+1) - x/(x^2+3x+3)

よって、∫(3x^2+7x+6)/{(x+1)(x^2+3x+3)}dx=∫2/(x+1) - x/(x^2+3x+3)dx=2∫1/(x+1) - ∫x/(x^2+3x+3)dx

∫1/(x+1)dxについては、∫f'(x)/f(x)dx=log|f(x)|によって簡単に計算できて、

　∫1/(x+1)dx=log|x+1|

しかし∫x/(x^2+3x+3)dxは更に工夫が必要になります。まず、∫f'(x)/f(x)dx=log|f(x)|を利用するため次のように変形します。

　∫x/(x^2+3x+3)dx=∫1/2 * (2x+3 - 3)/(x^2+3x+3)dx=1/2*∫(2x+3)/(x^2+3x+3)dx - 3/2*∫1/(x^2+3x+3)dx

∫(2x+3)/(x^2+3x+3)dxは(x^2+3x+3)'=2x+3より簡単に計算でき、

　∫(2x+3)/(x^2+3x+3)dx=log(x^2+3x+3) ∵x^2+3x+3>0

よって、∫1/(x^2+3x+3)dxが問題となります。これは次のように分母を変形(平方完成)して、更にx+3/2=√3/2*tと変換すれば、

　∫1/{(x+3/2)^2+3/4}dx=1/(3/4)*∫1/(1+t^2)*√3/2dt=2√3/3∫1/(1+t^2)dt=2√3/3*arctan(t)

よって以上より、

　∫(3x^2+7x+6)/{(x+1)(x^2+3x+3)}dx=2log|x+1| - 1/2*log(x^2+3x+3) + √3arctan(t)

(2) tan(x/2)=tと変換することが鍵になります。この時、dt/dx=1/2*1/{cos(x/2)}^2={1+tan(x/2)}^2/2=(1+t^2)/2, (1-t^2)/(1+t^2), cos(x)=2{cos(x)}^2-1=2/[1+{tan(x/2)}^2]-1=(1-t^2)/(1+t^2) よって、

　∫1/{4+5cos(x)}dx=2∫1/{(3-t)(3+t)}dt

(1)と同様にして部分分数に展開すれば、

　2∫1/{(3-t)(3+t)}dt=2/6*∫1/(t+3)-1/(t-3)dt=1/3{log|t+3|-log|t-3|}=1/3*log|(t+3)/(t-3)|

よって、

　∫1/{4+5cos(x)}dx=1/3*log|(t+3)/(t-3)|

(3) まず、x=√3/2*sinθと置換して、dx/dθ=√3/2*cosθより、

　∫√(3-4x^2)/(1-x^2)dx=√3∫√{1-(sinθ)^2}/{1-3/2*(sinθ)^2}*√3/2*cosθdθ=6∫|cosθ|cosθ/{3(cosθ)^2+1}dθ

xの積分区間からcosθ>0となるので、

　∫√(3-4x^2)/(1-x^2)dx=6∫(cosθ)^2/{3(cosθ)^2+1}dθ

6∫(cosθ)^2/{3(cosθ)^2+1}dθの分母分子それぞれを(cosθ)^2で割ると、

　∫√(3-4x^2)/(1-x^2)dx=6∫1/{3+1/(cosθ)^2}dθ=6∫1/{3+1+(tanθ)^2}dθ=6∫1/{4+(tanθ)^2}dθ

更にtanθ=2tと置換すると、dt/dθ=2/(cosθ)^2=2(1+4t^2)より、

　∫√(3-4x^2)/(1-x^2)dx=6/4/2*∫1/{(1+t^2)(1+4t^2)}dt=3/4*∫1/{(1+t^2)(1+4t^2)}dt

(1)と同様にして部分分数に分解すれば、

　∫√(3-4x^2)/(1-x^2)dx=-1/4*∫1/(1+t^2)dt + ∫1/(1+4t^2)dt

ここで、∫1/(1+t^2)dt=arctan(t)であるから、∫1/(1+4t^2)dtが問題となる。2t=uとおきなおせば、

　∫1/(1+4t^2)dt=1/2*∫1/(1+u^2)du=1/2*arctan(u)

よって、

　∫√(3-4x^2)/(1-x^2)dx=-1/4*arctan(t) + 1/2*arctan(u)

となります。計算が間違っていたらすいません。もっとよい方法があるかもしれませんので余力があれば探してみてください。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
大変分かりやすい回答でした。