数IIBレベルの問題です

質問

x,yがx≧0, y≧0, x+y≦1を満たして変化するとき、
f(x,y)=x^2-5xy-x+2y+1 の最小値を求めよ。

xで整理して
f(x,y)={x-(5y+1)/2}^2-(5y+1)^2/4+2y+1
x=(5y+1)/2のとき最小として
x+y=1と連立して解くと
x=6/7,y=1/7のとき最小値27/49となり、不正解となります。
（正解　x=2/3,y=1/3で最小値1/3)
どこがおかしいのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

shintaro-2 · ベストアンサー

>で２乗の項は必ず≧0なので、0のときが最小になるのではないでしょうか。

ｙが定数ならそうなりますが、
実際にはｙは変数ですから
そうならないのです。

ｘ＝（5y+1)/2の時の残った項はｙの2次係数が負の2次関数ですから
ｙが特定の値で最大値を持ちます。

ｘが最小の値を求めようとしている時、ｙは最大値をとるような変化をしているということです
当然両者の兼ね合いで最小値が決まるということです。

ｙで式を整理してみると
f(x,y)=2y(1-5x/2)+x^2-x+1　となります
ｘ＝2/5でｙの影響が消えますが、x^2-x+1が残ります。

というわけで、Xだけの条件を考えても無意味なのです。

素直にｙ＝1-ｘをf(x,y)に代入して最小値の条件を求めてください。

回答No.3

f272

x,yがx≧0, y≧0, x+y≦1を満たして変化するとき、
f(x,y)={x-(5y+1)/2}^2-(5y+1)^2/4+2y+1
これの第1項はx-(5y+1)/2=0のとき最小になりますが、第2項はy=1のとき最小になり、第3項はy=0のとき最小になります。
f(x,y)を最小化するのに第1項だけを見ていてはいけません。

x=0のときは、f(x,y)=x^2-5xy-x+2y+1=2y+1はy=0のとき最小値1となる。
y=0のときは、f(x,y)=x^2-5xy-x+2y+1=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4はx=1/2のとき最小値3/4となる。
x+y=1のときは、y=1-xをf(x,y)に代入して
f(x,y)=x^2-5xy-x+2y+1
=x^2-5x(1-x)-x+2(1-x)+1
=6x^2-8x+3
=6(x-2/3)^2+1/3
x=2/3、ｙ=1/3のときに最小値1/3をとる。

以上から本当の最小値が求まる。

お礼

LPの問題を解くイメージですね。有難うございます。

回答No.1

shintaro-2

> x,yがx≧0, y≧0, x+y≦1を満たして変化するとき、

> x=(5y+1)/2のとき最小として

ｙが定数なら最小となりますが、その保証がありますか？

補足

shintaro-2様
f(x,y)={x-(5y+1)/2}^2-(5y+1)^2/4+2y+1
で２乗の項は必ず≧0なので、0のときが最小になるのではないでしょうか。