ラグランジュの方法

質問

ラグランジュの方法

以下の問題について相談です。

x^2+xy+y^2=1の条件下でのxy/1+x^2+y^2の最大値、最小値およびそれらを与える(x,y)をすべて求めよ。

ラグランジュの方法を用いました。

ψ(x,y)=x^2+xy+y^2-1=0とおき、xとyについて偏微分して、ψx(x,y)=ψy(x,y)=ψ(x,y)=0を満たす点は存在しないことを確認しました。

次にF(x,y,λ)=xy/1+x^2+y^2-λ(x^2+xy+y^2-1)とおき、xとyとλについて偏微分して、連立方程式を解いて答えを出そうとしています。

私の解答では(1.1)のとき最大値2、(1.-1)で最小値-2になったのですが、大変自信がありません。

まず、やり方はあっているのでしょうか？
どなたか途中式も交えて答えをご回答下さると大変嬉しいです。
お願い致します。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

Fx=(y+y^3-x^2y)/(1+x^2+y^2)^2-λ(2x+y)=0 (1)
Fy=(x+x^3-y^2x)/(1+x^2+y^2)^2-λ(x+2y)=0　(2)
Fλ=-x^2+xy+y^2-1=0　　　　　　　　　　　(3)
(3)を用いながら(1),(2)からλを消去して
x~2=y^2 (4)
をえる。
1）x=yのときx=y=±１/√3
このとき
xy/(1+x^2+y^2)=1/5 (最大値）

2）x=-yのときx=1,y=-1またはx=-1,y=1
この時
xy/(1+x^2+y^2)=-1/3（最小値）

お礼

違ったみたいですね(^^;)
どうもありがとうございます！
お陰様でとても助かりました！

回答No.1

spring135

やり方としては正しいとおもいます。
x^2+xy+y^2=1はだ円で、ｘ、ｙは有限ですので大抵のｘ、ｙの関数f(x,y)は最大値、最小値を持つでしょう。
＞xとyとλについて偏微分して、連立方程式
これを示してください。

お礼

ありがとうございました！

補足

質問者です。
Fについての偏微分は、以下のようになりました。

Fx=(-x^2+y^3+y/(1+x^2+y^2)^2)-2λx-λy

Fy=(-xy^2+x^3+x/(1+x^2+y^2)^2)-λx-2λy

Fλ=-(x^2+xy+y^2-1)

をそれぞれ=0として解いたところ、質問文のような答えになりました。