連立方程式の問題

質問

連立方程式xy+x+y=5,x^2+y^2+xy=7の実数解を求めよ．

（x+y,xy）=（-4,9）（3,2）
となるところまではわかったのですが、次はどうすればよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.4

kei_ · ベストアンサー

> 何かわかりやすい考え方などはないでしょうか？

問題を変えてみたらわかりやすいかもしれません。
(x + y, xy) = (-4, 9), (3, 2)
ではなく
(s + t, st) = (-4, 9), (3, 2)
を満たす、s, t を求める問題ならわかりますか？

s + t = 3, st = 2 を満たす s, t は
x^2 - (s + t)x + st = 0
つまり
x^2 - 3x + 2 = 0
の解になっていますよね。
よって
x = 1, 2
つまり
(s, t) = (1, 2), (2, 1)
となります。

この、s, t を x, y に置き換えてみてください。なんとなくわかりますか？

お礼

＞なんとなくわかりますか？
不思議です。
わかりました、まだなんとなくですが。
角度を変えて、示してくれてどうもありがとうございます。
なんかうれしいです。
どうもありがとうございました！

回答No.3

springside

>>ｔというのがなんなのかがはずかしながらよくわからないのですが・・。

何か計算をして「x+yとxyがそれぞれどうなるか、が求まった！」ということは、「xとyが何かの二次方程式の解になっている、ということがわかった！」ということですよね。

上記の「何かの二次方程式」を解くために、「何か」をtと置いた、ということなのですが、感覚的におわかりになりますでしょうか。

お礼

いつもどうもありがとうございます。

＞「xとyが何かの二次方程式の解になっている、ということがわかった！」
ここがどうもよくわからないんです・・。
すごいバカなんですが、何かわかりやすい考え方などはないでしょうか？
時間が経てばなんとなく感覚的にわかるようなことなのでしょうか？
10分くらい画面をにらんでるんですが・・。くやしいなぁ。

補足

今になってわかりました。springsideさん。
どうもありがとうございました。

回答No.2

fushigichan

yyama19さん、こんにちは。

解と係数の関係より、
x+y=-4
xy=9　のときから考えてみましょう。

このとき、ｘとｙは方程式
t^2+4t+9=0
の解である。
しかし、このとき
(t+2)^2+5>0
であるから、これを満たす実数ｔは存在しません。

次に、
x+y=3
xy=2
のとき、解と係数の関係より、ｘとｙは方程式
t^2-3t+2=0
の解になっている。これを解いて
(t-1)(t-2)=0
t=1,2
x=1のとき、y=2
x=2のとき、y=1
(x,y)=(1,2)(2,1)　・・・・（答え）

お礼

こんにちは。
どうもありがとうございます。

解と係数の関係ですか。
y=x^2+px+q=0の解がαとβだったらp=-（α+β）でq=αβってやつですよね。
これを使うんですね。

またまた質問になってしまいますが、ｔというのがなんなのかがはずかしながらよくわからないのですが・・。
よかったら教えて下さい。m（__）m

回答No.1

kei_

x + y = a, xy = b の解 x, y は
t^2 - at + b = 0 の二つの解を表してますよね。
つまり、t = t_1, t_2 なら
(x, y) = (t_1, t_2), (t_2, t_1)
ですよね。

お礼

ありがとうございます。
でも、ちょっとわからないっす。