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数列の和について
数列の和についてです。本来ならば入力したいのですが、分かりにくくなってしまうので、画像にさせていただきます。 画像の式から分かるように答えは55なのですが、どうすれば求められるのでしょうか？ k=3の場合どうすればいいか分かりません。 よろしくお願いします。
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(3-2)^2+(4-2)^2+(5-2)^2+(6-2)^2+(7-2)^2 =1+4+9+16+25 を計算するだけです。
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- f272
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> どのようにして右辺を求めればいいのか分からないのでお聞きしました。 Σ[k=3,7](k-2)^2 こんな式が出てきたときに考えることは和を取る範囲が1からになっていないと言うことだ。通常，覚えているのはk=1からになっているので，そのように変形すべきだと言うことだね。 k=3から7をk=1からにするには2だけ減ずればよい。そのとき，和をとる式の方は2だけ足してやるとちょうどうまくいく。つまり Σ[k=1,5]k^2 となるわけだ。どうしてそうなるかは，総和記号で書かれた式を展開して書き下せば納得できるはず。あなただって「同じになるのはわかるのですが、」と書いているでしょ。
- f272
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> Σ[k=3,7](k-2)^2=Σ[k=1,5]k^2 > ここはどうやっているのでしょうか？ 両辺を書き下せばどちらも 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 になるでしょ。 それともi=k-2として Σ[k=3,7](k-2)^2=Σ[i=1,5]i^2 と文字を置き換えたほうがわかりやすいのか？
補足
同じになるのはわかるのですが、どのようにして右辺を求めればいいのか分からないのでお聞きしました。 何度もありがとうございます。よろしくお願いします。
- chie65535
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＞公式など他のやり方などはないのでしょうか？ まず、１から５までの総和を考えます。 ○ ＋ ○○ ＋ ○○○ ＋ ○○○○ ＋ ○○○○○ ↓全部積み上げる ○ ○○ ○○○ ○○○○ ○○○○○ ↓同じ物を引っくり返して重ねる ○◎◎◎◎◎ ○○◎◎◎◎ ○○○◎◎◎ ○○○○◎◎ ○○○○○◎ これの全体は、１～５の総和の２倍。 縦のサイズは、５。 横のサイズは、５＋１＝６。 １から５までの総和は、縦×横／２なので「５×（５＋１）／２＝１５」です。 なので「１からｎまでの総和」は「ｎ（ｎ＋１）／２」になります。 次に、１の２乗から５の２乗までの総和を考えます。 ○ ＋ ○◎ ○○ ＋ ○◎◎ ○○◎ ○○○ ＋ ○◎◎◎ ○○◎◎ ○○○◎ ○○○○ ＋ ○◎◎◎◎ ○○◎◎◎ ○○○◎◎ ○○○○◎ ○○○○○ ↓◎の位置を入れ替える ＿＿＿＿○ ＋ ＿＿＿＿○ ＿＿＿○○◎ ＋ ＿＿＿＿○ ＿＿＿○○◎ ＿＿○○○◎◎ ＋ ＿＿＿＿○ ＿＿＿○○◎ ＿＿○○○◎◎ ＿○○○○◎◎◎ ＋ ＿＿＿＿○ ＿＿＿○○◎ ＿＿○○○◎◎ ＿○○○○◎◎◎ ○○○○○◎◎◎◎ ↓全体を、幅の広い方から積み直す ＿＿＿＿○ ＿＿＿＿○ ＿＿＿＿○ ＿＿＿＿○ ＿＿＿＿○ ＿＿＿○○◎ ＿＿＿○○◎ ＿＿＿○○◎ ＿＿＿○○◎ ＿＿○○○◎◎ ＿＿○○○◎◎ ＿＿○○○◎◎ ＿○○○○◎◎◎ ＿○○○○◎◎◎ ○○○○○◎◎◎◎ ↓周囲を正方形で埋める △△△△△○△△△△△ △△△△△○△△△△△ △△△△△○△△△△△ △は５×５の正方形が２つ △△△△△○△△△△△ △△△△△○△△△△△ ▲▲▲▲○○◎▲▲▲▲ ▲▲▲▲○○◎▲▲▲▲ ▲は４×４の正方形が２つ ▲▲▲▲○○◎▲▲▲▲ ▲▲▲▲○○◎▲▲▲▲ △△△○○○◎◎△△△ △△△○○○◎◎△△△ △は３×３の正方形が２つ △△△○○○◎◎△△△ ▲▲○○○○◎◎◎▲▲ ▲は２×２の正方形が２つ ▲▲○○○○◎◎◎▲▲ △○○○○○◎◎◎◎△ △は１×１の正方形が２つ これの全体は、１×１～５×５の正方形が３つづつになります。 縦のサイズは、１～５までの総和。つまり、５×（5＋１）／２。 横のサイズは、５＋４＋１＋１。整理すると５＋５＋１＝２×５＋１。 正方形が３セットあるので、縦×横を３で割ります。 ｛５×（5＋１）／２｝×（２×５＋１）／３ 整理すると ５×（5＋１）×（２×５＋１）／６＝５×６×１１／６＝５５ になります。 なので「１からｎまでの２乗の総和」は「ｎ×（ｎ＋１）×（２ｎ＋１）／６」になります。
- f272
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> 原理は分かったのですが、公式など他のやり方などはないのでしょうか？ Σ[k=3,7](k-2)^2=Σ[k=1,5]k^2=5*6*11/6=55 ここで Σ[k=1,n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6 を使った。
補足
Σ[k=3,7](k-2)^2=Σ[k=1,5]k^2 ここはどうやっているのでしょうか？
- chie65535
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Σの下の「k=3」は「kは3から始まります」の意味。 Σの上の「7」は「kは7までです」の意味。 式全体の意味は、kを3から7まで1つづつ増やした時の(k-2)^2を全部足した値、です。 「●^2」は「●の２乗」を意味します。 k=3の時、(k-2)^2=(3-2)^2=1^2=1×1=1。 k=4の時、(k-2)^2=(4-2)^2=2^2=2×2=4。 k=5の時、(k-2)^2=(5-2)^2=3^2=3×3=9。 k=6の時、(k-2)^2=(4-2)^2=4^2=4×4=16。 k=7の時、(k-2)^2=(7-2)^2=5^2=5×5=25。 k=3の時、k=4の時、k=5の時、k=6の時、k=7の時の５つ全部を足すと、1+4+9+16+25=55。
補足
回答ありがとうございます。原理は分かったのですが、公式など他のやり方などはないのでしょうか？
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