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行列の固有値とスツルム列について

このQ&Aのポイント
  • 行列Aの固有値を求める際には2分法を使用します。
  • 行列Aを三重対角化した行列A'に対してxI-A'のk次首座小行列式pk(x)を考えると、pn(x),...,p1(x),p0(x)はスツルム列になります。
  • スツルム列の符号が反転する回数をw(x)としたとき、区間[a,b]に含まれるpn(x)の実根の個数はw(a)-w(b)となります。しかし、「cより大きい固有値の個数はw(c)である」の証明が見つかっていません。

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  • tmpname
  • ベストアンサー率67% (195/287)
回答No.1

(p_n(c) = 0の時は考えないことにする。また、Aは実対称としておきます) ヒント (p_n(x)がA(A')の固有多項式なのはいいですよね) 要はp_n(d)≠0, c<dの時 (c, d)に含まれる固有値の個数はw(c) - w(d) なのだから、ある「適当に大きいd」があって、 * w(d) = 0 * d<xでp_n(x) ( = det(xI - A') )は解を持たない となればよいのですが、それこそ「適当に大きいd」を取ればそうなるのはほぼ明らかでは? w(d) = 0というのは、要はStrum列で隣合うp_j(d)同士で符号が変わらなければよい訳ですが、例えばp_j(d)(たち)が全て正だったらいいわけです。ところでp_j(x)(たち)の最高次の係数は何ですか? d<xでp_n(x)は解を持たない、というのも、同様にp_n(x)はn次式なんだからdが充分大きければよいのは分かるはず。

marimmo-
質問者

お礼

ありがとうございます. 漸化式より最高次の係数はすべて1ですね. 解決しました. また機会があればよろしくお願いします.

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