２＝１とアキレスと亀について

質問

三角形の２＝１というパラドックスについて質問があります。
http://kumaotoko41.cocolog-nifty.com/blog/2014/05/post-840b.html
↑のブログでの２＝１という証明ってどこが間違ってるんですか？
知恵袋でも同じ質問をしたのですが、どなたか納得のいく説明はできないでしょうか

回答No.19

Mathmi

No18の回答を見てWikiを調べてみましたが、そういう「この理論に従えば現実とは異なる結果になってしまう。即ちこの理論は誤っている」という事を言いたいが為の命題(パラドックス)らしいですね。

＞終わらない、ということはすなわち追いつけないということになってしまいますが
　Wikiでも他の回答者も言っていますが「追いつけない」んです。

　例題を出しましょう。
　「亀はアキレスの2m先にいます。亀の速度は1m/s、アキレスの速度は2m/sです。アキレスは2秒未満の間に亀に追いつけるか否か？」
　「上記の条件の元、アキレスと亀のパラドックスの理論に従い、アキレスが亀の元の位置に到着する毎にカウントしていく。無限時間カウントし続けていられるか否か？」
　ちなみに、収束するというのは「限りなく近づく」という意味であって「最終的にその値になる」という意味ではありません。

　後、大元のブログですが。

＞　上記の解説は、「無限の操作を行っても一定の数値には収束していかない」と言い換えることが出来るはずだ。
　これは誤り。上辺の長さの総和は、最初から最後まで2のままであり、操作によって変化していない。
　「収束しない」というのは、無限大に発散するか、値が繰り返す振動となるか、という意味であって、値が変化しないこの場合は不適当です。

＞　数式にするなら 1-1/2-1/4-1/8-1/16-1/32…≠0 か
　もし数列にするなら、(2/n)*n=2となります。

回答No.18

mitoneko

＞つまり追いついた瞬間に無限の数字を数え終わったということですか？
＞最後の数字ってどんな数字ですか？

　残念ながら、最後の数字はありません。
　無限なんです。永遠に続きます。

　例えば、自然数の世界において、１の次の数字は、２ですよね。
　では、実数の世界において、１の「次」の数字は？答えられませんよね。
　または、f(x)=1/xとした時、lim(x→∞)f(x)=0は正解です。でも、決して、1/xは０にはなりません。ｘを限りなく大きくすると、１／ｘは限りなく０に近づく。でも、どんなに大きなｘを与えても、決して「=0」にはならない。そう。ならないのです。
　「限りなく近づく」というのは、「等しい」では無いのです。どんなに頑張って、永遠の作業をしても決して等しくはならないのです。

　さて、話題を戻しましょう。アキレスと亀において、アキレスが亀に追いつく瞬間の時間をtとします。
　ゼノンの世界では、「アキレスがさっき亀のいた地点にたどりついた時」という操作を何度も何度も繰り返せば、時計の針は、限りなくtに近づきます。でも、さっきの話と同じです。どんなに作業を繰り返しても、決して「=t」にはならない（ましてや、t以上には絶対にならない。）のです。

　実数には、隙間がありません。隙間が無いということは、tよりも小さくtに充分近いある数字を与えたとしても、必ずそれよりtに近い数字が存在するというということを意味します。（極限から微分積分にいたる学問のスタート地点が、ここになります。この言葉を正確に数式として表記しようとする一つの手法がε-δ記法です。興味があれば、調べてみると良いでしょう。）

　というわけで、「最後の数字」は存在しないし、「数え終わることは決して無い」となります。
　逆を言えば、数え終わることが無いから、アキレスは永遠に亀に追いつかないのです。最初は、5分とか10分刻みで数えていた時間が、そのうち、数秒になり、数マイクロ秒になりという意味で、どんどん時計の針が遅くなっていきますから。（誤解を恐れずに言えば、こうして、時計の針の速度は限りなく０に近づきますが、決して０、つまり止まることはありません。）
　無限に広がる大宇宙、無限の向こうには何がある？という話と同じで、ゼノンのパラドックスの世界に住むアキレスと亀には、時刻tより先の時は存在しないのです。アキレスと亀にとって、それは、きっと「神」の時間となります。

　（質問のブログの数式には、一つ非常に勘違いしやすい数式があります。「 1-1/2-1/4-1/8-1/16-1/32…＝0」これです。この「…」が曲者で、これは、極限を使った式であることを強く意識しておかないといけません。なにが言いたいかと言うと、この無限に続く左辺の答えは、項数を増やすほどに限りなく０に近づきますが、どんなに項数を増やしても決して０にはならないと言うことです。）

お礼

わざわざこんなくだらない質問に答えていただきありがとうございます。
自分で調べてみたら、ゼノンがこのパラドックスを唱えた理由は彼の師匠であるパルメニデスの「あるものはある」という命題を援護するために考えたのだとわかりました。
パルメニデスとゼノンはどうやら、時間と空間と物質とは単に主観的に感じてるだけの幻に過ぎないと論証しようとしたかったようです。
変化、運動、多様性とは実在性のない幻に過ぎない。現実にアキレスは亀を追い抜けるし、世界は変化してるが、変化、運動しているからこそ実在ではない、ということのようです
ゼノンはピタゴラス派やデモクリトスのような原子論者の矛盾を導き出す為にパラドックスを考えたようです。
もしも「運動」が実在すると仮定すれば逆に何も動かなくなってしまう。

回答No.17

Water_5

∞と無限小をどう定義するか？？
どう定式化するか？？

回答No.16

178-tall

< ANo.10

>…最後の数字ってどんな数字ですか？

「最後の数字」は、どのような「大きな数字」よりも大きい数字なのでしょう。
そして、数字を数えるのに要する時間はどのような「小さな数字」よりも短くなければならない。

回答No.15

tmpname

連投になってしまいますが、要は我々は「2秒後の世界」というのを見ることができるけど、ゼノンの論理の世界（住人）ではその世界を見ることができない（いくら数を数えても「2秒後以降の外の世界」は見れない）。で、「2秒後の世界」があるということを知るには（すでに秒という言葉を使っていますが）何か外の論理を持ち込むしかないのです。

回答No.14

tmpname

> 仮に２秒後に追いつけると仮定した場合、アキレスが亀の居た地点に着くたびに
> 数字をカウントしていくとすると、２秒後の時点でアキレスは終わりのない無限の
> 数字を数え終わったということになります。

うん、つまり
＊数字を「数え終わる」ことはない（無限は数え終わらないから無限という）
のですが、つまり時間を導入した場合、今の場合数字を数え終わることは決してなく、また同時に数えている途中では（合計で）2秒間立つことも決してない。

要は、（他の人も書いていますが）ゼノンの方法ではそもそも「２秒後の世界」というのを議論できない（2秒後以前の世界しか議論できない）。で、2秒後に追いつく、というのは『何か別の方法で』証明するしかない（ゼノンの方法では2秒後に何がおこるかは予知できない）。で、秒後に追いついたとしても、ゼノンの方法ではそもそも2秒後以前の世界しか議論できないので、別に矛盾はありません。

回答No.13

tmpname

つまりですね、整理するために次の命題を考えます。

「ある位置（地点）の列A_1, A_2, A_3, .....があって、任意の自然数nに対し、以下の事が成り立つ。
『アキレスが地点A_nにいる（追いついた）時は、亀はその次の地点A_(n+1)にいる』
」

で、これは普通の数学でも真ですね。
で、ここから、「ある位置（地点）の列A_1, A_2, A_3, .....があって、任意の自然数nに対し、亀がA_(n+1)にいるとき、アキレスはまだ追いついていない」という結論が得られて、ここまでは正しいことが分かる。

問題はここからで、「でもアキレスはカメに追いつくよね？」という議論はしたいわけですが、それにはどうするか。これは逆に「アキレスはカメに追いつけない」ということを証明しようとすると、これには「例えば任意の地点xに対し、A_nがxより大であるような（つまり任意の地点xに対し、亀の位置がxを超えているような）xが存在する」とかいう事を示す必要がありますが、ゼノンの話からこの議論ができますか？

つまり、ゼノンの話からは繰り返しになりますが「ある位置（地点）の列A_1, A_2, A_3, .....があって、任意の自然数nに対し、亀がA_(n+1)にいるとき、アキレスはまだ追いついていない」という結論は得られますが、『それ以上のことは分からない』。つまり、ゼノンの話からはアキレスが追いつくか追いつかないかは結局は分からない、但し繰り返しになりますがある位置（地点）の列A_1, A_2, A_3, .....があって、任意の自然数nに対し、亀がA_(n+1)にいるとき、アキレスはまだ追いついていない」ということは言える、という話になります。

で、アキレスが追い付くことを示すにはどうしましたか？そこでは「アキレスと亀の速度が一定である」とかいう仮定を置きませんでしたか？それで実際に「時刻tで追い付く」みたいな議論をするでしょう？
（実際アキレスが亀が前にいた地点につくたびに亀がどんどん加速していった（アキレスもそのたびに加速する）ら、結局追いつかないかもしれないでしょう？）
つまり、ゼノンの話を越えてわれわれが「アキレスが追い付く」という結論を出すには、『速度』とか『時間』とかそこらの「ゼノンの話にはない『外部の』（別の）情報（論理）を組込む」しかない。で、『時間』とかいう『連続するもの』を持ち出して議論をすれば「アキレスが追い付く」というを出すことは出来るけど、それを許さないということになれば、「アキレスが追い付く」という結論は出せない（結論を出せるかは不明）ということになります。

つまり、「アキレスが追い付く」という議論をしている時は、われわれはゼノンの世界からすれば「神の世界」で議論をしているわけです。

回答No.12

178-tall

>つまり追いついた瞬間に無限の数字を数え終わったということですか？

いいえ。
「追いついた瞬間」にとどかぬようハナシを組み立てている、というだけのことです。

そのカラクリは単純。
「アキレスが亀の居た地点につくたび」のみに話題を限定しておけばよい。
めでたく、絶対に「追いついた瞬間」にはとどかぬようなっている。

コミュニケーションを一方的にシャットアウトした「詐欺的話法」。
「詭弁派」とよばれる所以です。

回答No.11

Mathmi

＞アキレスが亀の居た地点に着くたびに数字をカウントしていくとすると、２秒後の時点でアキレスは終わりのない無限の数字を数え終わったということになります。
＞追いついた瞬間に無限の自然数が終わったとはどういうことなのか
「終わらない」んです。
アキレスは数を数え続けます。どんな実数よりも大きい実数となっても。
例えるなら、関数y=1/xのxを、1から0に近づけていくと、yは無限に大きくなるように。

で、アキレスが亀に追いついた時にカウントがどうなっているのかは……多分、現代の数学では「分からない」という答えになってしまうと思います。
x=0の時の1/xの値が不明なのと同じように。

お礼

終わらない、ということはすなわち追いつけないということになってしまいますが

回答No.10

178-tall

>…アキレスが亀の居た地点につくたびに数字をカウントしていくと仮定すると、アキレスが亀に追いついたときに無限の数字を数え終わったということになります。終わりのないものが「終わった」とはどういうことですか？

なるほど。
話術のトリックに、みごとひっかかってますネ。

「アキレスが亀の居た地点につくたび」だけにハナシ限っており、亀がアキレスの前方におるのはアタリマエ。
そればかりを何度くりかえしても、アキレスが亀に追いつく瞬間にたどりつけるはずありません。
それは実況からかけ離れた「似非報告」なので、延々と続けることができるのです。

お礼

つまり追いついた瞬間に無限の数字を数え終わったということですか？
最後の数字ってどんな数字ですか？