空間ベクトルの問題です

質問

次のような問題の答えがわかりません。正解をお願いします。

２変数関数ｆ（ｘ，ｙ）の等高線とは、ｆ（ｘ，ｙ）＝一定という条件で定義される曲線である。ただし、勾配ベクトルが０にならないところでだけ等高線を考えるとする。
第一象限（ｘ＞０，ｙ＞０）において、次の関数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＾3・ｙ＾3の等高線と直交する等高線をもつ関数ｈ（ｘ，ｙ）を求めよ。

類似問題の解説を読んだのですがわかりませんでした。よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa

式だけでは等高線直交のイメージが掴めないので、
f(x,y)=h(x,y)=一定のグラフを2例添付します。
f(x,y)=x^3*y^3
h(x,y)=±(1/2)*(x^2-y^2)
例1：f(x,y)=h(x,y)=1のとき(左のグラフ)
例2：f(x,y)=h(x,y)=300のとき(右のグラフ)

お礼

添付していただいたグラフでよくわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

yyssaa

＞f(x,y)=一定だからdf=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=0
x,y＞0だから
dy/dx=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)=-3x^2y^3/(3x^3y^2)=-y/x
同様にdh=(∂h/∂x)dx+(∂h/∂y)dy=0から
dy/dx=-(∂h/∂x)/(∂h/∂y)
直交条件から-(∂h/∂x)/(∂h/∂y)=-1/(-y/x)=x/y
すなわち(∂h/∂x)y+(∂h/∂y)x=0
x、yは共に正で任意の値を取り得るから、この等式が
常に成り立つのは(∂h/∂x)=xかつ(∂h/∂y)=-y
又は(∂h/∂x)=-xかつ(∂h/∂y)=yのとき。
(∂h/∂x)=xかつ(∂h/∂y)=-yのときは
(∂h/∂x)=xからh=(1/2)x^2+g(y)
(∂h/∂y)=-yからh=(-1/2)y^2+k(x)
両式が成り立つのはg(y)=(-1/2)y^2でk(x)=(1/2)x^2
のとき。よってh(x,y)=(1/2)x^2-(1/2)y^2
同様に(∂h/∂x)=-xかつ(∂h/∂y)=yのときは
h=(-1/2)x^2+(1/2)y^2
以上からh(x,y)=±(1/2)*(x^2-y^2)・・・答