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お年玉の袋をできるだけたくさん作る、という問題
kmeeの回答
- kmee
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日本の硬貨体系で考えるなら、答えは「n≦金額÷1000<n+1 となる整数n袋」です。 1円玉ですが、 a = a' + 5a'' (0≦a'<5)と置くと 1円と5円の金額は a+5b =a' + 5a'' + 5b =a' + 5(a''+b) となります。 a''+b=b'+2b '' (0≦b'<2)と置くと 5(a''+b) + 10c = 5b' + 10b''+10c = 5b' + 10(b''+c) となります。 以下、繰り返していくと 金額= a' + 5b' + 10c' + 50d' + 100e' + 500f' + 1000n (0≦a'<5,0≦b'<2, ...) の形で、一意に表わすことができます。 この状態では、「かならず n袋作ることができます」 また、 a' + 5b' + 10c' + 50d' + 100e' + 500f' < 1000 となるため、それ以上は作れません。 この限界値は、合計金額にのみ依存します。合計枚数は関係ありません。 元の問題は「組み合わせ最適化」の一種です。 この類の問題では「この式に当てはめたら一発で解ける」ということは、ほとんどありません。 y円以上に分けるとすると n≦ 総金額÷y < n+1 となる整数nを越える数に分けることはできません。 ですが、実際にnに分ける組合せが存在するかどうかは、簡単にはわからないケースが多いでしょう。 ※ 特定の条件ではあります。 例えば、このお年玉問題ですが「1000円以上」ならnに分ける組合せが存在することが、式の変形から証明できました。 ですが、「1001円以上」となったとたんに困難になります。 じっくり考えるつもりなら、組み合わせ最適化問題に、どんなアプローチがあるのか、調べてはどうでしょうか。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B%E6%9C%80%E9%81%A9%E5%8C%96
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