- ベストアンサー
積分の問題です。
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＞du=2tdt、dt=1/(2t)du ∫t/(12+t^4)dt=∫t/(12+u^2)1/(2t)du=(1/2)∫1/(12+u^2)du =(1/24)∫1/{1+(u/√12)^2}du u/√12=xで置換、du=√12dx (1/24)∫1/{1+(u/√12)^2}du=(1/24)∫{1/(1+x^2)}√12dx =(√3/12)∫1/(1+x^2)dx=(√3/12)arctan(x)・・・答
その他の回答 (4)
- Hutson
- ベストアンサー率25% (1/4)
∫t/(12+t^4)dt = ∫t/(12+u^2) du/2t = 1/2∫1/(12+u^2)du = 1/4√3 tan^-1(u/2√3) = 1/4√3 tan^-1(√t/2√3)
お礼
ご回答、どうもありがとうございました！
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
I=∫ t/(12+t^4) dt u = t^2とおいて置換積分すると du=2tdt, t^4=u^2 であるから I=∫ 1/(12+(y^2)^2)・tdt ＝∫ 1/(1+u^2)・(1/2)du =(1/2)∫ 1/(1+u^2) du u=tan(x)とおいて置換積分すると du=dx・sec^2(x)=dx(1+tan^2(x))=dx(1+u^2) 1/(1+u^2) du=dx であるから I=(1/2)∫ dx=(1/2)x+C (C=任意定数) 元の変数に戻すと x=tan^-1(u)=tan^-1(t^2)なので I=(1/2)tan^-1(t^2)+C (C=任意定数) ← (答) （注）tan^-1(t^2) は t^2のアークタンジェント(tanの逆関数）です。
お礼
詳しい説明を、どうもありがとうございました！
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
I=∫t/(12 + t^4)dt=(1/2)∫d(t^2)/(12 + t^4)=(1/2)∫du/(12 + u^2) v=√12uとおく I=(√3/12)∫dv/(1+v^2) v=tanxとおく 1/(1+v^2)=cos^2x dv/dx=1/cos^2x I=(√3/12)∫dx=(√3/12)x+c=(√3/12)arctanv+c=(√3/12)arctan(√12u)+c =(√3/12)arctan((2√3)t^2)+c ∫dx/(1+x^2)=arctanx+c はよく出てくる公式です。この形に持ち込むのがコツです。
お礼
公式のことも教えていただき、助かりました。 ありがとうございました！
関連するQ&A
- 積分
積分について u=t^2＋１とおくとき （t^2＋１）’×dt＝２ｔ×dt＝du ※ｄはdeferrencialで微小の意味。 上記のようになるのはわかるのですが、 （t^2＋１）’×dt＝２ｔ×dt＝du ＝u'×du となるのはどうしてでしょうか。 u=t^2＋１なのでこの微分がu'なのはわかるのですが。 このあとどうして微小のuなのでしょうか。 同じような問題で cosθ＝ｔとおいたとき （cosθ）’×dθ＝－sinθ×dθ＝dt つまりｔ＝cosθの変化量 ＝ｔ'×dt （cosθ＝ｔの瞬間変化率に微小のｔをかけるとはたとえば図形的にはどう理解するのか。ここらへんもよくわかりません。） となるのはどうしてでしょうか。 どうかよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 指数関数の積分
∫[-∞,0] (1/√(2π)) e^{(-u^2)/2} du =(1/√(2π)) ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du この部分の解き方を教えて下さい。 ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du 多分、置換積分だと思いますが解けません。 f(t) = e^t t = g(u) = -(1/2)u^2 f(g(u)) = e^{-(1/2)u^2} t = -(1/2)u^2 dt/du = -(1/2)(2)u dt/du = -u dt = -u du ただ、この形だと ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du に適用できません。 ∫[-∞,0] u e^{(-u^2)/2} du のようにuが掛けられてたら適用できたと思います。 どうかこの積分が終わるところまで解いて下さい。 つまり、 [e^(???)][-∞,0] の形になるまでお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分計算
積分の計算をしたのですが 解答と違うのでどこが違うか指摘をお願いします 問題 ∫dx/√（（ｘ－１）^2-1) （範囲は２から４）・・(1) 解答では (1)＝log|x-1+√（ｘ（ｘ－２））| となるので log|x-1+√（ｘ（ｘ－２））|＝log(3+2√２) そして自分の回答 x-1=1/costとおいて ｔの範囲が０からα（ただしcosα＝1/3 sinα=2√2/3） dx=(tant/cost)dt （ｘ－１）^2-1=(1/cos^2t)-1=tan^2t よって ∫(1/tant)(tant/cost)dt=∫(1/cost)dt=∫(cost/(1-sin^2t))dt ここで sint=uとして uの範囲が０から2√2/3 du=costdt ∫(1/1-u^2)du=1/2∫(1/1+u^2)+(1/1-u^2)du =1/2log(1+u)(1-u) =1/2log1/9 となってしまします よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分についてで再度質問…
明日定期テストがあり、この問題をどうしても解きたいのですが、分かりませんm(__)m (1)∫2u/(u^4+2u^2+5)du (2)∫dt/√(t^2+t+1) どうか、よろしくお願いします(^^ゞ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分
何度計算してもめぼしい値が出ないのですが、間違いを指摘して頂けたら幸いです。 (1)∫1/coshx dx t = coshxと置くと 与式 = ∫1/t dx dt/dx = -sinhx dx = dt/-sinhx 与式 = ∫1/t dt/-sinhx = (log t) / -sinhx = (log cosx) / -sinhx (2) ∫xlog(1 + x) dx = (x^2) log(1 + x)/2 - 1/2∫(x^2)/(1 + x) dx - 1/2∫(x^2)/(1 + x) dxに着目する、 x + 1 = u , dx = du - 1/2∫(u - 1)^2/u du = - 1/2∫(u - 1) du = - 1/2(u^2/2 - u) = - (x^2 - 2x-1)/4 -(x - 1)/2 与式 = 1/2 {(x^2) log(1 + x) - (x^2 - 2x-1)/2 -(x - 1)} 初歩的かもしれませんが、宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分
∫dx/√(4x-x^2)を求めよという問題を解いてみたのですが、模範解答のsin^(-1)(x-2)/2と合いません。以下に私の解答を記しますので、間違いを指摘していただけると幸いです。 t=√(4x-x^2)とおく。 t=√(4x-x^2)⇒t^2=4x-x^2⇔(x-2)^2=4-t^2 ⇔x-2=±√(4-t^2)⇔x=2±√(4-t^2) 両辺をtで微分すると、dx=干tdt/√(4-t^2) (マイナスプラスの記号が見つからなかったので干で代用させていただきます) よって、 (与式)= ∫dx/√(4x-x^2)=干∫dt/√(4-t^2)=干∫dt/2√(1-(t/2)^2) u=t/2とおく。両辺を微分すると、dt=2du ∴(与式)=干∫du/√(1-u^2)=干sin^(-1)u +C=干sin^(-1)√(4x-x^2)/2 +C
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
式に沿って計算することが、かんたんにできました。 助かりました。ご回答、どうもありがとうございました！