- ベストアンサー
積分の問題
f(x)=e^(-x^2/2) ∫u^2f(u)duの求め方がわかりません。本には f´(u)=-uf(u)・・・（Ａ）だから ∫u^2f(u)du=-∫uf´(u)du=・・・と書いてあるのですが。この後は部分積分しています。上のところがわかりません。 Ａより∫f´(u)du=-∫uf(u)duは、わかるのですが、まさかこれに両辺にuをかけたわけじゃないですよね？そんなのだめですよね。では、どうやって・・・。教えてください。よろしくお願いいたします。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- この積分の求め方を教えて下さい。お願いします。
こんにちは、式を打つことができなかったため、添付の通り、手書きで失礼します。 もともとは物理の問題だったのですが、答えを求める最終工程での積分でつまづいており、 何とか解法を教えていただけないかと思いました。 二問ありまして、両方とも式の基本的な骨格は似ているのですが、もしかしたら解法はことなるのかも知れません。 Q１は、「いつのまにやら」解けてしまいました。 u = (x^2 + a^2)として、置換積分を始めたところ、 インテグラルの中身が二つの関数、片方はx、もう片方は(x^2 + a^2)^(-3/2)でありまして、xが uをxについて微分したもので表せることに気付きました。つまりdu/dx = 2x したがって、xは(1/2) du/dx これをインテグラルの中に代入すると、du/dx とdxが中に存在することになり、duで表されてしまいました。すると後は、uについて積分してあげれば答えは出てしまいました。確かに求めた答えはあっているのですが、一体どういった定理・公式を使ったのか、偶然できただけなのか、解いた本人が理解しておりません。どうか、お教え頂ければと思います。 Q2は、途中でつまづいています。そのため、途中の経過も正しい道に進んでいるのかわからなくなってしまいました。基本的には置換積分を使っています。ところが、u = (x^2 + a^2)として置換作業をしようとしても、xが二乗であるため、シンプルにxをuの関数で表すことができません。 本来は、∫f(u) dx/du du と置換積分の公式に乗せたいところですが、dx/duがシンプルに求まりません。つまり、u = (x^2 + a^2)をuについて微分すると、1 = 2x dx/du + 0 となり、dx/duがuの関数に収まってくれません。このため、∫f(u) dx/du du = ∫u^(-3/2) (1/2x) duとなり、インテグラルの中身がまだ二つの文字が含まれ、ここで計算が止まってしまいました。どうか、解法のヒントを与えて頂ければと思います。 この文章や添付で式が見辛いことがあるかと思いますが、すみません。 その際はご指摘頂ければ書き直します。 以上の二点について、どうか宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 指数関数の積分
∫[-∞,0] (1/√(2π)) e^{(-u^2)/2} du =(1/√(2π)) ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du この部分の解き方を教えて下さい。 ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du 多分、置換積分だと思いますが解けません。 f(t) = e^t t = g(u) = -(1/2)u^2 f(g(u)) = e^{-(1/2)u^2} t = -(1/2)u^2 dt/du = -(1/2)(2)u dt/du = -u dt = -u du ただ、この形だと ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du に適用できません。 ∫[-∞,0] u e^{(-u^2)/2} du のようにuが掛けられてたら適用できたと思います。 どうかこの積分が終わるところまで解いて下さい。 つまり、 [e^(???)][-∞,0] の形になるまでお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分について
4-x^2 ∫ 2√(4-x^2-y)dy 0 この積分の計算の計算方法は以下のようなやり方でいいのでしょうか？ 4-x^2-y ＝u とおき,両辺をｙで微分して -1dy=duとし、 y=0のときu=4-x^2 y=4-x^2のときu=0 よって 4-x^2 ∫ 2√(4-x^2-y)dy 0 0 ＝∫ -2√(u)du 4-x^2 u=0 =[(-2)(2/3)u^(3/2)}] 4-x^2 =(4/3)(4-x^2)^(3/2) （終わり） 一つ疑問なのが、 “4-x^2-y ＝u とおき,両辺をｙで微分して-1dy=duとする” この表現について、∂を使った偏微分にしなくていいのでしょうか？ ｘとｙがあるので、dではいけないようなきがするのですが、、、 もしこの解法が正しいのなら ∂ではなくｄにしている理由を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- たたみこみ積分のフーリエ変換
またまた質問します・・ ↓の式の両辺のフーリエ変換の解説で意味がわからないところがありました。 f(x)＝e^(-|x|) + a∫[x～∞]e^(x-y)f(y)dy この式の両辺をフーリエ変換するわけですが、 教科書の解説では、 g(x)≡e^x (x≦0) , g(x)≡0 (x>0)といきなり定義すると書いてあります。 すると変換後の式は、たたみこみ積分の考え方も導入して F(ω)＝√{2/π}/(1+ω^2) + F(ω)a/(1-iω)となるようです。 まぁ√{2/π}/(1+ω^2)は、e^(-|x|) のフーリエ変換なのはわかります。 F(ω)/(1-iω)の部分も、g(x)のフーリエ変換にf(x)のフーリエ変換F(ω)と√2をかけただけなのでしょう。つまり、f*g＝√2F(ω)G(ω) わからないのは・・ g(x)≡e^x (x≦0) , g(x)≡0と定義するに至る考え方。 たたみこみ積分は、積分範囲が０から始まっているのに対して、問の積分部分はxから始まることに起因してｇ(x)をそのように定義するのかな？？っていうのはなんとなく分かりますが、、その間の具体的な道筋が思いつきません！！わかりやすく教えていただきたいです。よろしくお願いします！！ ちなみにフーリ変換は、1/√2π∫[-∞～∞]f(x)e^(-jωx)dx 畳み込みはf*g＝√2F(ω)G(ω)という定義でお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエの積分定理がわかりません
フーリエの積分定理：{f(x+0)+f(x-0)}/2 例えば、 f(x)｛|x| (|x|≦1) ｛ 0 (|x|＞1) というものがあって、これをフーリエ余弦変換したものを用いて 次の公式を導けというものです。 範囲は0→∞ (1)∫{(u・sin(u)+cos(u)-1)/u^2}du = π/4 答えとかは分かってるんですが、 関数f(x)はx=1で連続で無いから、フーリエの積分定理より {f(1+0)+f(1-0)}/2 = ～(1)の左辺を余弦変換したもの (0+1)/2 = ～ このときに、左辺でフーリエの積分定理を使ってるんですが、 自分としてはxに何を入れてもf(x)じゃないのか？と思うわけです。 なので、なぜ f(x+1) = 0 と f(x-1) = 1 になるのか教えてください。 あと、x=1にする理由もわかりません。 x=(-1)じゃ駄目な理由も教えてもらえると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分の問題について
微分積分についての質問です 以下の問題がわかりません。解答よろしくお願いします<(_ _)> 1.u=f(x,y) v=g(x,y)のとき次を示せ。 1)d(u+v) = du+dv 2)d(uv)=v du +u dv 2.1)p（≧3)変数の関数に対して、全微分可能性と全微分を定義せよ。 2)u=x^2+y^2+z^2の全微分duを求めよ。 答えだけでなくその過程もよろしくお願いします！
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございました。あなた様のおかげでわかりました！！！本当にどうもありがとうございました！