数学の曲線の問題:曲率を求める
- 数学の問題で、パラメーター表示で表される曲線の曲率を求める方法について説明します。具体的な問題として、パラメーター表示x(t)=(e^t t t)で表される曲線の曲率k(t)のグラフについて、正しい選択肢を選ぶ問題が与えられます。
- 解き方がわからない場合、以下の選択肢を確認することで解答を導くことができます。選択肢は、(1)lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=∞で、t=0で最小値0をとる。 (2)lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=∞で、t=0で正の最小値をとる。 (3)lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=0で、単調減少である。 (4)lim t→ ー∞ k(t)=0かつlim t→∞ k(t)=∞で、単調増大である。 (5)lim t→ ー∞ k(t)=0かつlim t→∞ k(t)=0で、t=0で最大値をとる。
- 解答は選択肢(2)です。パラメーター表示x(t)について、lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=∞であり、t=0で正の最小値をとることから、選択肢(2)が正しいです。
- ベストアンサー
数学【空間の曲線】の問題がわかりません
パラメーター表示x(t)=(e^t t t)-実際は縦3行に表示、e^tはeのt乗のこと- で表される曲線の曲率k(t)のグラフで正しいものを選びなさい。 (1)lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=∞で、t=0で最小値0をとる。 (2)lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=∞で、t=0で正の最小値をとる。 (3)lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=0で、単調減少である。 (4)lim t→ ー∞ k(t)=0かつlim t→∞ k(t)=∞で、単調増大である。 (5)lim t→ ー∞ k(t)=0かつlim t→∞ k(t)=0で、t=0で最大値をとる。 解き方がわかりません。解答よろしくお願いいたします。
- atcazbj4
- お礼率35% (14/39)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数3
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>(x(t),y(t),z(t))でパラメータ表示された曲線の曲率k(t)は、 x,y,zのtによる微分をそれぞれx',y',z'、同じく二階微分を x",y",z"とすると、 k(t)={1/(x'^2+y'^2+z'^2)^2} *√[{x"(y'^2+z'^2)-x'(y'y"+z'z")}^2 +{y"(x'^2+z'^2)-y'(x'x"+z'z")}^2 +{z"(x'^2+y'^2)-z'(x'x"+y'y")}^2] で表されるので、これに x'=x"=e^t、y'=z'=1、y"=z"=0を代入すると、 k(t)={1/(e^t^2+1+1)^2}*√[{e^t(1+1)}^2+{-(e^te^t)}^2+{-(e^te^t)}^2] =e^t√[2{2+e^(2t)}]/{2+e^(2t)}^2=√2e^t√{2+e^(2t)}/{2+e^(2t)}^2 =√2e^t/{2+e^(2t)}^(3/2)となるので、 lim[t→-∞]e^t=0だからlim[t→-∞]k(t) =lim[t→-∞]√2e^t/{2+e^(2t)}^(3/2)=0/{2+0}^(3/2)=0 また、lim[t→∞]e^t=∞で k(t)=√2e^t/{2+e^(2t)}^(3/2)={√2/e^(2t)}/[{2/e^(2t)+1}√{2/e^(2t)+1}] だから lim[t→∞]k(t)=lim[t→∞]{√2/e^(2t)}/[{2/e^(2t)+1}√{2/e^(2t)+1}] =0/1=0 以上からlim[t→±∞]k(t)=0が分かったので答えを探すと(5)になる。 なお、参考までに k'=[√2e^t{2+e^(2t)}^(3/2)-√2e^t(3/2){2+e^(2t)}^(1/2)e^(2t)2]/{2+e^(2t)}^3 =2√2e^t{2+e^(2t)}{1-e^(2t)}/{2+e^(2t)}^(7/2) k'=0を解くと、1-e^(2t)=0からt=0、k(0)=√6/9 だから,k(t)はt=0で極大値√6/9をとる。
その他の回答 (1)
- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
tに、0,1,2,3.。。 -1、-2,3-3 と値を代入して座標を調べる。 それを3次元空間に描いてみる。 必要なら電卓も使う。 外形なら、e=3で計算して少し小さくする。
お礼
回答ありがとうございました。お答えいただいた通りにもう一度やってみます。
関連するQ&A
- ベクトル解析における曲率κ(t)のグラフについて
パラメーター表示 X(t)= e^t e^t e^(-t) で表される曲線の曲率κ(t)のグラフについて、次の(1)~(5)のうち正しいものを一つ選んでください。(1)lim[t→-∞]κ(t)=0かつlim[t→∞]κ(t)=0で-∞<t<∞のどこかで最大値を取る。 (2)lim[t→-∞]κ(t)=∞かつlim[t→∞]κ(t)=∞で-∞<t<∞のどこかで正の最小値を取る。 (3)lim[t→-∞]κ(t)=∞かつlim[t→∞]κ(t)=0で単調減少である。 (4)lim[t→-∞]κ(t)=∞かつlim[t→∞]κ(t)=∞で単調増大である。 (5)lim[t→-∞]κ(t)=l1>0かつlim[t→∞]κ(t)=l2>0で正の有限の極限を持つ。 という問題で以下の2点がわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。 質問1まず曲率κの値が途中までしかわかりません。 質問2なぜ正解が(1)なのか具体的な理由をわかりやすく教えてください。 以上宜しくお願いします。 x'(t)= e^t e^t -e^(-t) ||x'(t)||=√{e^2t+e^2t+e^(-2t)}=√{2e^(2t)+e^(-2t)} e1(t)={1/||x'(t)||}・x'(t)より =1/√{2e^2t+e^(-2t)}× e^t e^t -e^(-t) e1(t)= e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)} e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)} -e^(-t)/√{2e^2t+2e^(-2t)} e'1(t)= [e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}]' [e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}]' [-e^(-t)/√{2e^2t+2e^(-2t)}]' 上の微分は積の微分や合成関数の微分法を使うと思うのですが、ここまでしかわかりません。ここまでの計算で間違いなどあればご指摘ください。 そして曲率κ(t)=||k(t)||でk(t)={1/x'(t)}・e'1(t)です。
- 締切済み
- 数学・算数
- 空間曲線
一般の媒介変数t を用いて, (t) と表される滑らかな空間曲線がある. 曲線上のt = 0 の点から, 媒介変数の値がt となる点までの弧長をs(t) とする. この曲線を弧長パラメータで表したとき, 曲線の単位接ベクトルe, 主法線ベクトルn, および従法線ベクトルb は, プライム( ′ ) をs 微分として, 次式で与えられる e =a' n = e'|e'| b = e ×n . また, 曲線の曲率κ と捩率τ は, それぞれκ =|e'|, τ = -b' n で与えられる. (d/dt)s(t) =|(d/dt)a(t)|を図を用いて説明し, e(t) = (d/dt)a(t)/|(d/dt)a(t)|を示せ. なぜ、e =a' で、e(t) = (d/dt)a(t)/|(d/dt)a(t)| となるのですか? e≠e(t)なんですか? この問題の答えと詳しい解説をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学数学「空間内の曲線」の問題です
問 パラメーター表示(cos t ,cos t,sin t)で表される曲線について正しいものを選びなさい。 (1)長径2、短径√2の楕円 (2)長径√2、短径1の楕円 (3)半径1の円 (4)半径√2の円 (5)円でも楕円でもない 解き方がわかりません。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 曲線のパラメータ付けの問題
γ:[a,b]→R^2を閉曲線Γのパラメータ付けとするとき 任意の曲線Γが弧長によりパラメータ付けされる事をどのように証明すればよいのかが分かりません。 あるηを任意のパラメータ付けとして、h(s)=∫|η'(t)|dtとおき、 γ=η(h^(-1))を考えてみようかと考えてみたのですが良く分かりませんでした。 この証明のお分かりになる方の解答をお待ちしております。
- 締切済み
- 数学・算数
- 平面曲線の媒介変数表示, 曲率
xy 面上の曲線C: ζ(t) =(x(t) , y(t))=(R(t - sin t) , R(1 - cos t)) (0 ≤ t ≤ 2π) を考える. (1) 曲線C はサイクロイドと呼ばれる. 媒介変数t の幾何的意味を明らかにしつつ, 曲線C を図示せよ. (2) 原点O から媒介変数の値がt となる点までの弧長s(t) を求めよ. (3) 弧長s(t) の逆関数t(s) を求め, サイクロイドC を弧長s で媒介変数表示せよ. (4) 弧長パラメータs をもちいた曲率の定義に従い, サイクロイドC の曲率κ(s) を求めよ. (5) 弧長パラメータを経由することなく, もとの媒介変数t で曲線C の曲率を求め, それが前小問の結果と一致することを確かめよ. 教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 媒介変数表示による曲線の長さの問題
曲線x=e^t(cost), y=e^t(sint) (0≦t≦π/2) のときの曲線の長さを求めたいです。 計算方法が間違っているのか答えにたどりつけません。 解答に解説がないのでどうやって求めたらよいか困っています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
詳細な解答ありがとうございました。大変助かりました。難しそうですが、理解できるまでがんばって復習します。