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sinωΔt/2のΔｔ→０のときの極限
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- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
高校生ならば、 xが小さいときには sin(x)/x がほとんど１に等しい （ｘ→0 のときの極限値は１） を使って、 Δt が0 に近いならば sin(ωΔt/2)/(ωΔt/2) が ほとんど１ これを、 sin(ωΔt/2)/(ωΔt/2) ＝ １ と書きましょう。（ほぼ等しいの記号が出ない） 分母を払って sin(ωΔt/2)＝ (ωΔt/2) （この等号はほ、ぼ等しいの意味） と考えれば良いと思います。
- sanzero
- ベストアンサー率56% (58/102)
極限ではなくΔt≒0での近似ではないですか？ 本当に極限をとってしまうと0になりますので。 xが十分小さいときsinx ≈ xです。 y = sinxのx = 0における接線を考えるとy = xとなり、 接点の周りではほぼ等しいという考えから近似が行えます。 物理では非常に小さい値を考えるとき、 その二乗以上の項は無視して考えることがよくあります。 例えば xが十分小さい時 (1 + x)^α ≈ 1 + αxと近似したりします。 (1 + x)^αを二項展開して二次以上の項を無視すると下記のようになります。 (1 + x)^α = 1 + αC1・x + αC2・x^2 … + αCα・x^α + … ≈ 1 + αx マクローリン展開（テイラー展開）で調べるのもよいとおもいます。 また、e^x, sinx, cosxのマクローリン展開を形だけでも知っておくと有利かと思います。
補足
今からそのマクローリン展開をちょっと勉強してみます。 ちなみにその物理の参考書は理解しやすいシリーズです。 交流と電磁波のところで誘導起電力ｖ＝ＢＳωsinωｔを導き出すときの途中の説明です。
- phosphole
- ベストアンサー率55% (466/833)
まず、こちらのwebsiteをご一読されてはどうでしょうか。 http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin1.htm http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin2.htm 三角関数は、マクローリン展開（テイラー展開）という方法で、xの何乗の和（多項式）で表すことができます。 さて、ここで質問者さんはx（= omega*deltat/2としてます）が０に近い、非常に小さい数の場合のことを問題にされてます。 ちょっと筆算すればわかりますが、０に非常に近い数（たとえば0.01でも良いです）の場合、ｘに比べ、ｘの二乗、三乗、（以下略）はオーダーが圧倒的に小さくなるので、”無視できる”ことになります。ほんまかいな？とお思いでしょうから、具体的にマクローリン展開の式にx = 0.01くらいを入れて計算してみると、ほとんど第一項（ｘの一次の項）だけで値が決まることがわかると思います。 なお、この理屈は三角関数の場合に限りません。 テイラー（マクローリン）展開してみる＞xが小さければ、xの一次の項以外は非常に小さいから無視しても良かろう・・・というのは、他の素性が良い関数の場合にもよく出てくる理屈です。 なにかの加減で一次の項が消える、あるいは物理的な意味が無いのなら、次の二次の項を考えましょう。
補足
まず上記のサイトの内容を勉強します。 少し理解するのに時間がかかるかもしれません。 とにかくやってみます。
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補足
社会人で勉強しているものです。 思いつかなかったのですがたしかに上記のようになります。 Δｔ→０は０に限りなく近づくけれど決して０にはなりませんから分母は０でなく、ちゃんと定義できる値ということになると考えることができます。（たぶん、くわしくないので確信は持てませんが。）