母集団と確率空間の違い

質問

母集団と確率空間の違いは何でしょうか？

なんとなく似たような概念だと感じているのですが，
いまいちはっきりと理解できていないため，どなたかご教示いただければと思います．

おすすめの参考文献などもありましたら是非教えていただきたいです．
よろしくお願いいたします．

回答No.4

MagicianKuma

重々承知のことと思われますので、以下は蛇足です。
>事象Fを{男性，女性}とし・・・
と書かれていますが、確率論ではFはあるルールをもった集合体です。難しくいうと標本空間Ω上のσ加法族です。なので、空集合およびΩも含めなくてはいけません。でもって集合の集合ですので、例えば次のようになります。F={∅,{男性},{女性},{男性,女性}}

お礼

ご指摘いただきありがとうございます．
蛇足などでは全然ありません．
確率空間の定義を見直して，自分の理解が間違っていたことに気づくことができました．

確率空間は標本空間Ω，Ω上のσ-加法族F，確率(測度)Pの3つ組で定義され，ΩとFの組を可測空間と呼ぶ．
FがΩ上のσ-加法族(=集合代数)であるとは，定義にある3つの条件を満たすものを指し，Fの元を事象と呼ぶ(このあたりの理解が間違っていました)．

以降は疑問ですが，本来の質問の主旨とは外れてしまうため，お時間があればお答えいただければ...くらいに考えております．

[質問]
確率空間の定義に「標本空間のσ-加法族」が含まれている理由が分かるようでしたら，教えていただけますか？

[質問にいたった考え]
今回の例示でもありましたが，標本空間ΩのN個の元a_1...a_Nがあった時に，それらの元が含まれるか含まれないかに応じて2^N個の集合を構成することができ，これらの集合の集合はσ-加法族となっています．またこの時，Ωを決めると，Fは一意に定まる，という関係になっています．

これらの各集合に対して確率Pを適切に(確率の公理を満たすように)割り振ることができれば，{Ω，F，P}は確率空間をなしている，と言えそうですが，ΩからFは一意に定まっているため，確率空間の定義にFを導入する必要性が分からなくなってきました．

考えうる可能性としては，
(1) 定義がもともと可測空間{Ω，F}と確率{P}の組で表されていたのをばらしたため3つ組になった
(2) Ω上の別のσ-加法族を構成する必要性がどこかで出てくる
が頭の中にありますが，どちらも納得したようなしていないような気になります．

お時間ありましたら，よろしくお願いいたします．