解法を教えてください

質問

aを正の実数とする。xの方程式{log(x^2+a)}^2+loga=1の異なる実数解の個数をaによって場合分けして求めよ。ただし、対数は自然対数であるとする。

答えは
a>e^{(-1+√5)/2}のとき、0個
a=e^{(-1+√5)/2}のとき、1個
e^{(-1-√5)/2}<a<e^{(-1+√5)/2}のとき、2個
a=e^{(-1-√5)/2}のとき、3個
0<a<e^{(-1-√5)/2}のとき、4個

できれば、図を付けてくださるとありがたいです。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

素直にやればいいだけの問題で、「解法」も図も関係ないな。

　　(log(x^2+a))^2 + log(a) = 1
で、aは正の実数。xは実数に限定という話。見やすくするために
　　A = log(a)
とおけば
　　(log(x^2+a))^2 = 1-A
左辺は常に（つまり、どんな実数xとどんな正の実数aを持ってきても）非負なので、
●1-A＜0 のときは解がないと分かる。つまり
　　A＞1
の場合には実数解は0個。

●以下、1-A≧0のときに限定して考える。解の集合をS(A)とすると
　　S(A) = { x | √(1-A) = log(x^2+a) ∨ √(1-A) = -log(x^2+a) }
（ここで、"P∨Q"は、「PかQの少なくとも一方が成立つ」という意味。）
　それぞれの式について両辺をeの肩に乗せると（見やすくするためにexp(x)をe^xのことだとして）
　　S(A) = { x | exp(√(1-A)) = x^2+a ∨ exp(√(1-A)) = 1/(x^2+a)}
つまり
　　S(A) = { x | x^2 = exp(√(1-A))-exp(A) ∨ x^2= exp(-√(1-A))-exp(A)}
である。見やすくするために
　　f(A) = exp(√(1-A))-exp(A)
　　g(A) = exp(-√(1-A))-exp(A)
と書く事にすると、
　　S(A) = { x | x^2 = f(A) ∨ x^2 = g(A)}
です。あとは、f(A)とg(A)がそれぞれ正、0、負になる場合に分けて、S(A)の要素の個数を数えればいいだけ。

お礼

回答ありがとうございます。