nは自然、(n＋1)／(2n＋1)≦２/３の証明

質問

解答では、以下の通りです。しかし、(1/2 )＋１/2(2n＋1）の式変形は、どのように考えて思い着くのでしょうか？

(n＋1)／(2n＋1)=(1/2 )＋１/2(2n＋1）≦(1/2)＋（1/6)＝2/3

回答No.5

f272

(n＋1)/(2n＋1)をみて分子分母に+1がなければn/(2n)=1/2になります。いいかれるとこの式はだいたい1/2だと言うことです。
だから
(n＋1)/(2n＋1)=1/2+(すこしだけ)
と考えて変形していきます。
(すこしだけ)=(n＋1)/(2n＋1)-1/2
だから
(n＋1)/(2n＋1)=1/2+1/(2(2n+1))
になるのは簡単でしょう。

お礼

どうもありがとうございます。「少しだけ」という発想を大事にしたいと思いました。色々な場面で生かせると思いました。

回答No.4

tanuki4u

2n +1 = n + 1 + n + 1 -1
= (n+1) + (n+1) -1
= 2(n+1) - 1

n+1 を　単位元と考える

（2ｎ＋1）を単位元としてやってみる　＜　これが　今回での回答への到達路となる

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83

単位元参照

クイズをやらせているようにも見えるが、一方で数学の基本「法則」を探すという行為の中の「単位元」発掘でもある。

お礼

「単位元」の考え方、どうもありがとうございます。今後に生かしていきたいと思います。

回答No.3

ybnormal

2(2n+1) - 3(n+1) >= 0を証明したほうが簡単なんじゃないのかな。

2(2n+1)-3(n+1)=n-1 >= 0
だから、
2(2n+1) >= 3(n+1)

2n+1は自然数だから、両辺を3(2n+1)で割っても不等号の向きは不変。
よって、2/3 >= (n+1)/(2n+1)

お礼

どうもありがとうございます。この回答のやり方は思い着かなかったので、勉強になりました。

回答No.2

noname#215361

ヒントを無視するようで大変恐縮ですが、時間差がありましたので（答えを出した後で確認しましたので）、ご容赦ください。

（n+1）/（2n+1）
=（n+1/2+1/2）/（2n+1）
=（n+1/2）/（2n+1）+1/2（2n+1）
=1/2+1/2（2n+1）
1/2（2n+1）においてn=1とすると
1/2（2n+1）=1/2（2*1+1）=1/6
1/2（2n+1）はnの増加に伴って減少するので
（n+1）/（2n+1）≦1/2+1/6=4/6=2/3

お礼

間違えて、補足の方に書いてしまいました。本当にすいません。
詳しいプロセスをお示し下さり、どうもありがとうございました。

補足

詳しい式変形のプロセスを示して頂きまして、大変助かりました。
回答の中で1点質問させてください。

分子：（n+1）→（n+1/2+1/2）とする動機と言いますか、１を1/2 ＋1/2に分けようと考えたのは、分母の1/2倍 が（n+1/2）であることを見通して、式変形されたのでしょうか？

それとも（n+1）を分母（2n+1）に近づけることを考えられたのでしょうか？すなわち　（n+1）＝(2n+1)/2 ＋1/2＝（n+1/2+1/2）と考えられたのでしょうか？

回答No.1

chie65535

＞しかし、(1/2 )＋１/2(2n＋1）の式変形は、どのように考えて思い着くのでしょうか？

「変数を１つだけにしよう」と考えます。

つまり「ｎが１回しか現れない式に変形しよう」と考えれば良いだけです。

変数が１つ（ｎが１回しか現れない）なら「ｎを含んだ項が最大（または最小）になる時」だけを考えれば、証明できたも同然です。

お礼

回答、どうもありがとうございます。私の使っている参考書では、あまり見かけなかった考え方でしたので大変助かりました。