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Γ(n+1/2)≒n！/√nの証明

Γ(n+1/2)≒n！/√nを証明する前にΓ(n+1/2)=(2n)!√π/((4^n)・(n!))を証明しました。これとスターリンの公式を使用してΓ(n+1/2)≒n！/√nを導けという問題が出題されたのですが解けなくて困っています。 どなたかわかる方ご指導お願いします。

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  • zk43
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回答No.1

スターリングの公式 n!～√(2π)・n^(n+1/2)・e^(-n) nを2nにすると、 (2n)!～√(2π)・(2n)^(2n+1/2)・e^(-2n) （～はn→∞にすると、比が1に収束するという意味。 だから、nが大きければほぼ等しいということ。） この２つを、書かれた式に代入して整理すると、 Γ(n+1/2)～√(2π)・n^n・e^(-n) となる。 さらに、この右辺は、 √(2π)・n^(n+1/2)・e^(-n)／√n と変形できて、分母はスターリングの公式から、ほぼn!なので、 Γ(n+1/2)～n!/√n

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質問者

お礼

(2n)^2nから4^nがでてくることを見落としていました。 今更ですが基本の大切さを思い知りました。 ありがとうございます！ とてもわかりやすかったです。

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