高校数学の不等式問題：最大値を求める方法
- 高校数学の不等式問題で、nが25以上の定数であり、x、y、zが負でない整数でx+y+z=25の条件が与えられています。
- 与式(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)の最大値を求めるために、x-z>=2とすると、xを1小さくzを1大きくすることによって与式をより大きくすることができます。
- また、3数x、y、zのどの2数の差も1以下の場合、与式は最大となります。具体的な組み合わせは{8,8,9}です。
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高校数学の不等式の問題です
nは25以上の定数、x,y,zは負でない整数でx+y+z=25のとき、(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)の最大値を求めよ 解説はたとえばx-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより 大きくすることが出来る、したがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるが そうなる{x,y,z}の組は{8,8,9}しかありえない とあるのですが、x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより大きくすることが出来るとありますが、これが何故そんな事が言えるのかまったく分からないです その後のしたがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるも何故なのか分かりません 是非とも詳しい解説のほうよろしくお願いします
- arutemawepon
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- 数学・算数
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質問者が選んだベストアンサー
解法を探るシミュレーションなんてかったるいけど こんなかんじかな。 まず、与式ではやりにくいから 全体に定数n^3をかけると (n-x)(n―y)(n-z) これを最大化すればよい。 仮にy=5ときめると、z=25-x-5=20-× (n-x)(n―y)(n-z)だから(n-x)(n―y)(n-z)=(n-y)(n-x)(n-20+x) =(n-5)(n^2-20n-20x-x^2) (n-5) は固定、(n^2-20n+20x-x^2)はxの2次式だから x=10 がピーク 同様に仮にy=6ときめると、z=25-x-6=19-x (n-x)(n―y)(n-z)=(n-6)(n^2-19n+19x-x^2) x=9と10でピーク。 つまり、z=x±1(x+zが奇数)、z=x(x+zが偶数) でピークになる。→|z-x|≧2ならピークではない。
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＞全部一気に書いて はぁ？66番に全部書いただろ。 今日のことだよ。 キミ、人として最低だな。
お礼
御返答有難うございます
補足
だから、一杯あるから分からなくなるんだって 何で最低とかまで言われないといけなんだよ
＞その分岐点に辿りつくまでの引き算 ＞をお願いしてもいいですか？ また同じこときくの？ 少し異常だと思います。 もう呆れました。 何度も訊かれて何度も答えた。 もう知らん。 それとあなたの頑迷さには辟易している。
お礼
御返答有難うございます
補足
これまでの投稿数が多すぎて全部見直していたら分けが分からなくなってきてしまうんです、だから一度に全部一気に書いていただきたいです、じゃないと過去に聞いたことでも新たな疑問みたいに感じてしまいます
#66の補足について。 ＞読み直したら分かりました ホントかなぁ。今までの根拠のない「勿論」 発言からしてにわかに信用できないけど、 本人がそういうならそういうことにしときます。 ＞ここです、2以上離れていない事を ＞前提とした計算ってありましたか？ 時系列が逆だよ。 （時系列ってわかる？） 計算したら2以上離れているかそうで ないかによってもっと大きな値をとる x,y,zの組み合わせがあるかどうか わかったのよ。 まず引き算ありき。 そして引き算したらx-z≧2というのが 一つの分岐点だとわかったの。 ここの部分何度も何度も何度も説明 してるんだけどあなたはわからない みたいね。 ＞こちらは分からない所を聞いている ＞だけなんです でも聞く耳もたないよね。 60個以上も回答ついてるというのにさ。 平行四辺形のところとか光の反射の ところとかでの他の人達とのやりとり みててもおんなじだもの。 そういうところ含めて指導してもらうには 赤の他人よりも学校の先生がいいんだよ。 何が原因かしらんけどあなたは何か頑な に間違った道を進み続けていて周囲が それは間違っているよと告げても無視 して突き進んでるようにみえる。 これもあなたは否定するんだろうけど（笑）。
お礼
御返答有難うございます
補足
＞時系列ってわかる？ 過去 現在 未来みたいな事ですよね >そして引き算したらx-z≧2というのが 一つの分岐点だとわかったの。 その分岐点に辿りつくまでの引き算をお願いしてもいいですか？ >赤の他人よりも学校の先生がいいんだよ。 先生も赤の他人ですよ、こういう所で解決したいです、こういう所の方が凄い人は何倍も分かりやすい人居ますし
＞じゃあ61に書いてる式の続き だからさぁ。#61は最大値の定義なわけ。 解答の一部ではないのよ。 根本的にわかってないんだね。 あなたは差を計算するのが突飛だと 言ったんだよ。突飛ではないことをいう のに私は最大値の定義を持ちだした。 するとどうだろう。あなたは定義という ものの意味を理解していないのであった。 この時点でもうどうしようもない。 いくら説明しても理解できないのはたぶん そういう理由なんだろう。 もういちどおさらいだけど、 ・この問題は与式の最大値を求めること ・最大値を与えるx,y,zの候補を見つける ために引き算をしたい ・変数が3つもあって大変だから一つ固定 する ・すると束縛条件から変数は1つだけ考え ればいいことがわかる ・計算してみると2以上離れている場合は それより大きい値をとるx,y,zが存在する ことがわかって最大値の候補から外れる ・対称性から最初に固定していた変数を 動かしても同様の議論がなりたち、x,y,zの 候補がしぼられる という流れ。 あなたが詰まっているのは引き算をする 理由がわからないからというもののようだ。 しかしそこは理由がわからなくても解法を 追って理解することはできるはず。なぜそれ をしようとしない？ そして引き算をする理由がわからないのは どうやら最大値の定義を理解できていない からのようだ。#59以降定義について何度か やりとりしているけど理解した様子がない。 そして、本人は理解できてないということが わかってない。ここが一番深刻な点。 挙句の果て回答者に食って掛かる。 と、まあこんなところ。
お礼
御返答有難うございます
補足
>最大値の定義なわけ。 >解答の一部ではないのよ。 了解しました >あなたは定義という ものの意味を理解していないのであった。 読み直したら分かりました >計算してみると ここです、2以上離れていない事を前提とした計算ってありましたか？ >理由がわからなくても解法を 追って理解することはできるはず。なぜそれ をしようとしない？ 解法は最初の前提を我慢して読んで理解することは出来ました >挙句の果て回答者に食って掛かる。 ですから、そういう否定的に取らないでください、食って掛かるって何かイチャモンつけてるみたいじゃないですか、こちらは分からない所を聞いているだけなんです
＞最大値の定義ですか？最大値の定義なんて ＞考えたことないですが、一番大きい値のこと ＞じゃないんですか？ ああ、だめだこりゃ。 #61できっちり書いてるのに「一番大きい値のこと」 などとはっきりしない概念で上書きしてしまったら ダメですよ。 わかってないと書いたのは、#59のあなたの補足に 「例」とあったから。 悪いこといわないから高校の先生に相談しなよ。
お礼
御返答有難うございます
補足
じゃあ61に書いてる式の続きをやって見てくださいよ、こちらはどうすればいいのか分かりません それと他の人に聞くのもここで聞くのも同じではないのですか？貴方はこの問題を完全に理解されているのですよね？ならばその事を教えてくだされば解決するはずです
＞>答えってなによ？ ＞(8,8,9)は答えだったと思います ＞>aをそういうふうに置いて最大値になることを ＞>示すということなのだよ。 ＞aを何でこういう風に置くことにしたのですか？ 答えは何かとあなたに聞いているのではなく、 あなたの質問がトンチンカンだといってるの ですよ。 a=(8,8,9)のときに最大値をとるという意味は こういうことなのだと#61は言っているのです。 #61で 「やはり最大値の定義を理解していないとみえる。」 と書いた理由はわかる？
お礼
御返答有難うございます
補足
>「やはり最大値の定義を理解していないとみえる。」 >と書いた理由はわかる？ 最大値の定義ですか？最大値の定義なんて考えたことないですが、一番大きい値のことじゃないんですか？ 61のf(x)の最大値が問題の最大値ですよね
#60の補足について。 ＞＞>x+y+z=25とは関係ないと書いたでしょ。 ＞では(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)が関係してますか？ 日本語読めないのかな～ #60に書いてあるよ。 #61の補足について。 ＞aとかどういう事ですか？これは結果です ＞よね？答えですよね へ？ 最大値の定義を当てはめただけだよ。 答えってなによ？ aをそういうふうに置いて最大値になることを 示すということなのだよ。 あなたほど理解力のない人は初めてみました。 ちょっとした感動。 #61については質問しちゃだめなのよ。 100回くらい読んで自分の頭で1週間は考えるべし。 それと、#62の後半2行に同意。 私もあなたの別の質問で似たようなこと書いて あなたから反発されたことありましたよね。 質問者が伸びないのは有益なアドバイスに一切 耳を貸さないことが一因なんだろうな。 その頑なさがどこから来てるのかしらんけど。 一度高校の先生のようにあなたについてよく 知ってる人のところに質問にいってみたら？ （この提案も拒否するようでは・・・）
お礼
御返答有難うございます
補足
>答えってなによ？ (8,8,9)は答えだったと思います >aをそういうふうに置いて最大値になることを >示すということなのだよ。 aを何でこういう風に置くことにしたのですか？ >あなたから反発されたことありましたよね。 反発はしてないですよ、何だかこちらが書いた事を否定的に取られているようですが、こちらは回答者の意見は尊重していますよ
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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おや、まだやってたんだ。 とりあえず、Excel でグラフを書いてみたら？ また、ものすごく背伸びしているみたいですね。 物事を理解するには基礎学力が必要です。特に数学は。
お礼
御返答有難うございます
補足
>とりあえず、Excel でグラフを書いてみたら？ 使い方が分かりません、他にもソフトはgrapesってのがあります >また、ものすごく背伸びしているみたいですね 順番に問題集をやってるだけですよ、基礎から順にやってきました、繰り返しやってるわけじゃないから最初のほうにやったのは殆ど忘れてるけど、今やってる問題集が最終でこれが終わったら又最初からやり直します
#59の補足について。 ＞はい、その例の内容自体は分かったん ＞ですが、今回の問題とどこで繋がって ＞いるんですか？ｘ－ｚという差は共通して ＞いますが、aがXの要素とかと今回の問題 ＞はどこで繋がっているのですか？ やはり最大値の定義を理解していないとみえる。 X={x|x=(p,q,r),p+q+r=25,p≧0,q≧0,r≧0,p,q,rは整数} a=(8,8,9) x=(p,q,r) f(x)=(1-p/n)(1-q/n)(1-r/n) と読み替えてみよ。 #1と#27を今一度見てみよ。
お礼
御返答有難うございます
補足
>と読み替えてみよ。 aとかどういう事ですか？これは結果ですよね？答えですよね
#58の補足について。 ＞yを固定するとxを小さくするとzは ＞1大きくなりますが、それとx-z>=2 ＞とするとという仮定はどう繋がって ＞いくんですか？ え？ x+y+z=25とは関係ないと書いたでしょ。 それは差を計算しないとわからないと #52にも書いた。 そしてその計算というのは#1とか#27 にある。 （もうこれ書くの何度目だろう・・・はぁ）
お礼
御返答有難うございます
補足
>x+y+z=25とは関係ないと書いたでしょ。 では(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)が関係してますか？
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>こんなかんじかな。 はい、正にそれです、そんな感じで途中までどう考えたかを知りたかったんです、じっくり読んで疑問が出たらお礼の所に書きますね、御返答有難うございます