高校数学の問題です。（整数）

質問

[問題]係数a,bが整数である三次方程式x^3+ax^2+bx=0が二つの虚数解と一つの整数解をもつ。
（1）これを満たす整数の組(a,b)は何組あるか？
（2）また、そのうちaが最大となる組(a,b)を答えよ。

[答え]
（1）3組
（2）(a,b)=(2,2)

これのやり方がわかりません。教えてください。

僕はx=n(整数）を一つの解と設定しx-nで三次方程式を割って、
（あまり）＝0　（商の二次方程式の判別式）<0
としたのですが手詰まりになってしまって

回答No.5

asuncion · ベストアンサー

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0
が1個の整数解を持つ、ということは、その整数解は
1または-1である。

i)整数解が1のとき
f(x)は(x - 1)で割り切れる。
f(x) = (x - 1)(x^2 + (a + 1)x + a + b + 1)
剰余定理から、f(1) = a + b + 2 = 0
a + b + 1 = -1
x^2 + (a + 1)x + a + b + 1 = 0は2個の虚数解を持つから、
判別式 < 0
(a + 1)^2 + 4 < 0
これを満たす整数aは存在しない。

ii)整数解が-1のとき
f(x)は(x + 1)で割り切れる。
f(x) = (x + 1)(x^2 + (a - 1)x + b - a + 1)
剰余定理から、f(-1) = a - b = 0
x^2 + (a - 1)x + b - a + 1 = 0は2個の虚数解を持つから、
判別式 < 0
(a - 1)^2 - 4 < 0 …… (1)
左辺 = 0とおいて得る2次方程式を解く。
(a - 1)^2 = 4
a - 1 = ±2
a = 3, -1
よって、(1)の解は、-1 < a < 3
これを満たす整数aは0, 1, 2
a - b = 0より、b = 0, 1, 2
∴整数(a, b)の組は、(0, 0), (1, 1), (2, 2)の3組
aが最大となるのは、(2, 2)

お礼

お礼遅れてすいません

詳しくありがとうございます

回答No.4

asuncion

aとbの関係を表わすには、剰余定理が使えるかもしれません。

回答No.3

asuncion

定数項が1であるならば、必然的に、
1つの整数解は
+1
または
-1
に決まります。
与式が
(x - 1)
または
(x + 1)
で割り切れることと判別式 < 0から、
求まるのではないかと思います。

って、その手順を確認済みであるならば、
どこで手詰まりになっているのでしょうか？

お礼

n=±1であることにうっかり気づいていませんでした汗
ありがとうございます

回答No.2

asuncion

方程式が間違ってるでしょうね。

x^3 + ax^2 + bx
= x(x^2 + ax + b)
= 0

より、
x = 0
が一つの整数解に相当します。
というわけで、
x^2 + ax + b = 0
が二つの虚数解を持つことになります。
そういう(a, b)の組合せは無数にあります。

補足

すいません…定数項が抜けていました
x^3+ax^2+bx+1=0

回答No.1

Tacosan

方程式, あってる?