数学II(高次方程式)の解説をお願いします..。

質問

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a,b,c,dは実数の定数とする。

Xについての２つの方程式

X^2+ax+b=0・・・(1)
X^3+bx^2+cx+d=0・・・(2)

がある。

(1)の左辺をXー1で割った時の
余りは４である。
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(１)bをaを用いて表せ。
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(２)(1)は実数解を持つとする。
aのとり得る値の範囲を求めよ。
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(３)(2)の左辺をX^2+X+1で
割ったときの余りがX+aである
とする。

(i)cをaを用いて表せ。
また、dの値を求めよ。

(ii)(1)と(2)が共通の実数解を
もつようなaの値を求めよ。
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回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

（１）
ｘ＾２＋ａｘ＋ｂをｘ－１で割った時のあまりが４であることから、
ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝（ｘ－１）（ｘ＋（ａ＋１））＋４
右辺の定数項は－（ａ＋１）＋４であり、これがｂに等しいので
ｂ＝－ａ＋３

（２）
（１）の判別式は
ａ＾２－４ｂ＝ａ＾２－４（－ａ＋３）
　　　　　　＝ａ＾２＋４ａー１２
これがゼロ以上の値をとれば、（１）は実数解を持ちます。

（３）
(2)の左辺をX^2+X+1で割ったときの余りがX+aであること
から、その時の商をｘ－αとして
ｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄ＝（ｘ＾２＋ｘ＋１）（ｘ－α）＋ｘ＋ａ
右辺を展開して係数を比較すると
ーα＋ａ＝ｄ　・・・（あ）
ーα＋２＝ｃ　・・・（い）
ーα＋１＝ｂ　・・・（う）
また、問題（１）よりｂ＝－ａ＋３　・・・（え）
（え）を（う）に代入して　－α＋１＝－ａ＋３
よって　－α＋ａ＝２
これを（あ）と比較するとｄ＝２
よって（あ）は　－α＋ａ＝２
よってα＝ａ－２
これを（い）に代入すると　２－ａ＋２＝ｃ
よってｃ＝４－ａ

回答No.3

gohtraw

（３）－（ii）
方程式（１）および（２）の各係数および定数項はａおよび定数を
用いて表すことができて、
（１）は　ｘ＾２＋ａｘ－ａ＋３＝０
（２）は　ｘ＾３－（ａ－３）ｘ＾２＋（４－ａ）ｘ＋２＝０

ここでｘ＾３－（ａ－３）ｘ＾２＋（４－ａ）ｘ＋２をｘ＾２＋ａｘ－ａ＋３で
割り、その商をｆ（ｘ）、あまりをｇ（ｘ）とすると（２）は
ｆ（ｘ）（ｘ＾２＋ａｘ－ａ＋３）＋ｇ（ｘ）＝０　・・・（３）
と書きかえることができる。

二つの方程式が共通解をもつということは、（３）に代入する
ｘの値として方程式（１）の解を代入した場合に（３）がゼロに
なるということであり、このときｘ＾２＋ａｘ－ａ＋３＝０なので
結局ｇ（ｘ）＝０と、方程式（１）が実数解を持つ条件だけを
考えればいいことになる。

これで多少計算は楽になると思いますが、もっといい手が
あるような気も・・・

回答No.1

Tacosan

X と x の連立方程式ですか?

補足

申し訳ありません。
こちら側の入力ミスです。
Xとxは同じです。
小文字も大文字も全て同じ
「X」として考えていただけたら
と思います。すいません....。