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数学 教えて下さい
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- 178-tall
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末尾の訂正? よって、商は x^2 + 6x + 4、その「零点ペア」は x = -3±√(3^2-4) = -3±√(5)
- 178-tall
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>(1)多項式x^3+ ax^2+ bx-aをx^2+x +1で割ったときの余りが-x +3である時,定数 a b の値を求めなさい まずは、割り算。 x + (a-1) ---------------- x^3 + ax^2 + bx - a ( x^2 + x + 1 x^3 + x^2 + x ------------------------ (a-1)x^2 + (b-1)x - a (a-1)x^2 + (a-1)x + (a-1) ------------------------ (b-a)x - (2a-1) この余りが -x+3 だというから、 b-a = -1 -(2a-1) = 3 下式から、-2a = 2 つまり a = -1。 これを上式へ入れると、b = a-1 = -2。 >(2)4次方程式x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0の1つの解が1+iであるとき、実数a.bの値を求めなさい。また他の解を求めなさい a, b は実数だというから、1+i の共役値 1-i もその方程式の解。 したがって「4 次方程式」は、 > { x-(1+i) )*{ x-(1-i) } = x^2 - 2x + 2 で割り切れるはず。 前問答案の割り算をしてみると? 商が x^2 + (a+4)x + 4 余りが (b+2a+1)x + (a^3-8) 「余り」が零だろうから、 a = 2 b = 2a-1 = 3 よって、商は x^2 + 6x + 4、その「零点ペア」は x = -3±i√(3^2-4) = -3±i√(5)
- f272
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(1) x^3+ ax^2+ bx-a=(x^2+x +1)(1次式)-x+3 と書けることになる。 上式両辺のx^3の係数を比較して,(1次式)の1次の項はx 上式両辺のx^2の係数を比較して,(1次式)の定数項はa-1 であることが分かり, 上式両辺のxの係数を比較して,b=a-1+1-1...(A) 上式両辺の定数項を比較して,-a=a-1+3...(B) したがって式(B)からa=-1,それを式(A)に代入してb=-2 (2) 1つの解が1+iであることから x=1+iより x-1=i (x-1)^2=x^2-2x+1=-1 x^2-2x+2=0 となるので x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=(x^2-2x+2)(2次式) と書けることになる。 上式両辺のx^4の係数を比較して,(2次式)の2次の項はx^2 上式両辺のx^3の係数を比較して,(2次式)の1次の項はa+4 上式両辺のx^2の係数を比較して,(2次式)の定数項は4 であることが分かる。したがって 上式両辺のxの係数を比較して,b+1=2(a+4)-8...(C) 上式両辺の定数項を比較して,a^3=8...(D) であるから式(D)からa=2,それを式(C)に代入してb=3 これで2次式はx^2+6x+4と確定できた。 x^2+6x+4=0からx=-3±√5も元の4次方程式の解であるし,また1つの解が1+iであるのでその共役複素数であるx=1-iも元の4次方程式の解である。
- muturajcp
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(1) x^3+ax^2+bx-a を x^2+x+1 で割ると ---------------- x+a-1 x^2+x+1)x^3+ax^2+bx-a x^3+ x^2+ x (a-1)x^2+(b-1)x-a (a-1)x^2+(a-1)x+a-1 (b-a)x+1-2a --------------------- x^3+ax^2+bx-a=(x^2+x+1)(x+a-1)+(b-a)x+1-2a だから余りは (b-a)x+1-2a=-x+3 だから b-a=-1…(1) 1-2a=3 ↓両辺に2a-3を加えると -2=2a ↓両辺を2で割ると -1=a ↓これを(1)に代入すると b+1=-1 ↓両辺から1を引くと b=-2 ∴ a=-1 b=-2 (2) x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0…(2.1) の1つの解が1+iであるとき [{(x+a+2)x-(2a+2)}x+b+1]x+a^3=0 [{(1+i+a+2)(1+i)-(2a+2)}(1+i)+b+1](1+i)+a^3=0 [{(3+a+i)(1+i)-2a-2}(1+i)+b+1](1+i)+a^3=0 [{-a+(4+a)i}(1+i)+b+1](1+i)+a^3=0 (b-2a-3+4i)(1+i)+a^3=0 b-2a-7+a^3+(1+b-2a)i=0 b-2a-7+a^3=0…(2.2) 1+b-2a=0 ↓両辺に2a-1を加えると b=2a-1…(2.3) ↓これを(2.2)に代入すると 2a-1-2a-7+a^3=0 -8+a^3=0 ↓両辺に8を加えると a^3=8 ↓両辺を1/3乗すると a=2…(2.4) ↓これを(2.3)に代入すると b=3…(2.5) ↓これと(2.4)を(2.1)に代入すると x^4+4x^3-6x^2+4x+8=0 の1つの解が1+iだからその共役複素数1-iも解になるから (x-1-i)(x-1+i)=(x-1)^2+1=x^2-2x+2 が因数になるから x^4+4x^3-6x^2+4x+8をx^2-2x+2で割ると --------------------------- x^2+6x+4 x^2-2x+2)x^4+4x^3-6x^2+4x+8 x^4-2x^3+2x^2 6x^3-8x^2+4x 6x^3-12x^2+12x 4x^2-8x+8 4x^2-8x+8 0 --------------------------------- x^4+4x^3-6x^2+4x+8=0 (x^2-2x+2)(x^2+6x+4)=0 (x-1-i)(x-1+i){(x+3)^2-5}=0 (x-1-i)(x-1+i)(x+3-i√5)(x+3+i√5)=0 x=1+i ∴ a=2 b=3 他の解は x=1-i x=-3+i√5 x=-3-i√5
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