確率と期待値の問題です

質問

こんにちは。
確率と期待値に関する問題が分からないので、教えていただきたいです。

箱の中に赤玉・白玉それぞれn個の合計2n個の玉が入っている。どちらかの色の玉を先にn個取り出すまで、箱から無作為に玉を1個ずつ取り出す（元に戻さない）。その時点で、箱の中に残っている反対の色の玉の個数をrとする。

(1)最後に1個だけ箱の中に残る（つまりr=1）場合について考える。これは、n個の赤玉とn個の白玉のすべてを無作為に一列に並べたとき、一番最後の玉の色とその1つ前の玉の色が異なる色である場合に相当する。このとき、箱の中に1個だけ玉が残る確率を求めよ。

最後に箱に残っている玉の個数rの期待値E(r)を求めるために、全ての赤玉・白玉にそれぞれラベルi（1≤i≤n）をつけ、赤玉iが最後まで残る場合x_i=1、残らない場合x_i=0、白玉iが最後まで残る場合y_i=1、残らない場合y_i=0　と表現することとする。
(2)E（ｒ）をE(x_i)、E(y_i)を用いて表現せよ。
(3)x_i=1となるのは、n個の白玉と赤玉iを合わせたn+1個の玉のうち、最後に赤玉iが取り出される場合である。任意のnとiについてx_i=1となる確率を求めよ。
(4)任意のnについて、E(r)を求めよ。

考え方も教えていただけると非常に助かります。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

MagicianKuma

(2)の補足
1回の試行において、r=Σx_i+Σy_i となる。(Σx_iかΣy_iのどちらかは0になるけれども）
期待値の加法性より、E(r)=E(Σx_i+Σy_i)=ΣE(x_i)+Σ(y_i)
(3)の補足
x_i=1となる確率は、n+1から1個を選ぶのと同じ。なので1/(n+1)。これはiによらないnのみで決まる。でもってx_iが0,1の確率変数なのでx_iの期待値はx_i=1となる確率と等しい。E(x_i)=P(x_i=1)=1/(n+1)

回答No.4

MagicianKuma

(2)E(r)=ΣE(x_i)+ΣE(y_i)
(3)E(x_i)=1/(n+1)
(4)E(r)=n/(n+1)+n/(n+1)=2n/(n+1)
応用問題 白玉a個、赤玉b個とするとE(r)=a/(b+1)+b/(a+1)

回答No.3

yyssaa

補足関連

最後に箱に残っている玉の個数rの期待値E(r)を求めるために、全ての赤玉・白玉にそれぞれラベルi（1≤i≤n）をつけ、
赤玉iが最後まで残る場合x_i=1、残らない場合x_i=0、白玉iが最後まで残る場合y_i=1、残らない場合y_i=0　と表現することとする。
(2)E（ｒ）をE(x_i)、E(y_i)を用いて表現せよ。
＞「赤玉iが最後まで残る場合」「白玉iが最後まで残る場合」の
「最後まで」の意味がはっきりしないけれど、「残されたr個に
含まれる場合」と考えれば、
白玉がn個取り出され赤玉がr個残る確率をP(r)とすると、
r個に赤玉iが含まれる確率は(r/n)だから
E(x_i)=∑(r=1→n)(r/n)*P(r)=(1/n)∑(r=1→n)r*P(r)
E(r)=∑(r=1→n)r*P(r)=n*E(x_i)
赤白が逆の場合は
E(r)=∑(r=1→n)r*P(r)=n*E(y_i)
よってE(r)=(n/2){E(x_i)+E(y_i)}とでもなるんですかね？？？？？

回答No.2

Tacosan

結果があってるかどうかは知らんが, その文章を読む限り
(2) r を x_i, y_i を使って表す
(3) 冷静に考えれば「最初に赤玉i を取り出す確率」と同じ
(4) 加法性
でいいはず.

繰り返すが, これで正しい答えになるかどうかは知らん.

回答No.1

yyssaa

＞取り敢えず(1)について
(1)最後に1個だけ箱の中に残る（つまりr=1）場合について考える。
これは、n個の赤玉とn個の白玉のすべてを無作為に一列に並べたとき、
一番最後の玉の色とその1つ前の玉の色が異なる色である場合に相当する。
このとき、箱の中に1個だけ玉が残る確率を求めよ。
＞(n-1)個の赤玉と(n-1)個の白玉を一列に並べる並べ方は
(2n-2)!/{(n-1)!(n-1)!}通り。
最後の2個が赤白の順と白赤の順があるから、この場合の
2n個の玉の並べ方は2*(2n-2)!/{(n-1)!(n-1)!}通り。
n個の赤玉とn個の白玉の並べ方は(2n)!/(n!*n!)通り。
よって求める確率は
[2*(2n-2)!/{(n-1)!(n-1)!}]/{(2n)!/(n!*n!)}
=n/(2n-1)}・・・答

補足

回答ありがとうございます。

自力で解いていた時に、教えていただいた考え方と同じ考えでやっていたのですが、組み合わせの計算（nCr）で計算間違いをしていたようです・・・。
答えも一致しました、ありがとうございます。
お時間があるときで構わないので、残りの問題の考え方も教えていただけると助かります。