1企業、１消費者からなる生産経済における問題

質問

q=消費材産出量
L=労働投入量
x=余暇
c=消費材の消費量
とするとき

q=L^1/2
U=x*c^2
が成立するとして

消費者の労働供給関数と
均衡価格体系w/pはどのように求めればいいのでしょうか？

回答No.5

statecollege

最後に私の回答をまとめておきます。

労働需要関数　　L = (1/4)/(w/p)^2

労働(逆）供給関数　　　w/p = √L/（４-２L)

実質賃金（均衡価格体系）　　w/p = 1/2

いくつか注を加えておくと、
・労働需要関数は実質賃金w/pの減少関数であることは式からあきらか（右辺においてw/pが分母に来ているから、ｗ/pが大きくなると、Lは小さい値をとる。）

・労働供給関数は逆供給関数の形のほうが簡単で、分かりやすい形をとる。労働供給はw/pの増加関数であることもすぐわかり、L=0とするとw/pはゼロ、Lを2に近づけると、w/pは無限大になる。労働の逆供給関数ではなく、供給関数であらわすためには、上の労働逆供給関数をLについて解けばよい（興味があれば、トライしてください。2次方程式の解の公式を使うことになり、ごちゃごちゃした式が得られます！）

回答No.4

statecollege

>消費者は当初労働力としてL0=2だけ所有しており、そのうち労働力として提供した残りが余暇となる。企業の獲得する利潤はすべて消費者に配当されるものとする」というものです.

L=2-x(*)
p/w=c/2x(**)
pc+wx=wL0+π(***)
より
L=4w-π/3w
と求まりました。

設定は合っていました。私のT=2と与えられていただけですから、私が得た答えにT=2を代入すればよいはずです。代入してみましょう。この経済の内生変数がどうなるか調べてみましょう。回答3で得たように、

　　　w/p = √(1/2T) = 1/2

これが求まると、回答３の(*)へ代入して

　　　L = (1/4)/(w/p)^2 = (1/4)/(1/2)^2 = 1
を得る。よって、

　　　x = T - L = 2 - 1 = 1
　　　 c = q = √L = 1

となる。最後に利潤Πは

　　　Π = pq - wL = p - w = w = p/2

となる。このように、L、x、ｃ、ｑ、w/pのような実質変数は一意に定まるが、ｗ、ｐ、Πのような名目変数はこれらを測る単位(ドルとか円）に依存するので、一意には定まらない。

あなたが得たL＝(4w-Π)/3wは右辺にΠ、ｗの名目値が入っているので奇妙な感じがするし、まだ最終形ではない。上で得たΠ＝ｗを代入すれば、L = (4w-w)/3w=１と私が得た結果と整合的になる。なお、あなたはL = 4w - Π/3wと書いているが、この書き方では4w-Πが分子であることが示されない。むしろ、L = 4w - (Π/3w)の意味になるので注意。

回答No.3

statecollege

回答２で提起した問題点についてあなたの回答がまだないので、私の解釈で話しを進めます。

回答１で、労働需要Lは1番目の式をLについて解くことで労働需要関数

(*)　　　　L = (1/4)/(w/P)^2

を得る。2番目の式を解くことで、実質賃金w/Pを労働供給Lの関数として（逆労働供給関数）

(**)　　　w/P = (1/2)√L/(T-L)

を得る。均衡においては労働需要（(*)のL)と労働供給((**）のL)は相等しいので、(*)の右辺を(**)の右辺のLに代入すると

　　(w/P)^2・T = 1/2

よって、w/P = √1/(2T)

となる。これが均衡実質賃金である。なお、Tは1日だったら24時間、1週間だったら、168時間のように総利用可能労働量である。

補足

問題設定が不足しておりました、申し訳ありません、

「消費者は当初労働力としてL0=2だけ所有しており、そのうち
労働力として提供した残りが余暇となる。企業の獲得する利潤はすべて消費者に配当されるものとする」というものです

L=2-x(*)
p/w=c/2x(**)
pc+wx=wL0+π(***)
より
L=4w-π/3w
と求まりました。

回答No.2

statecollege

>すいませんL=(4w-π)/3wが答えなのですが、-L + (T-L)(2√L)w/p=0を計算しても
4L^3/2-2L^1/2=1となり僕の計算力では求められません

いくつか疑問があるので、答えてください。
・まず、この経済の設定の確認なのですが、わたしは、題意より、この問題の経済をいわゆる「ロビンソン・クルーソー」経済として解釈し、この経済にはただ１人の主体が存在し、その主体が企業を所有・経営すると同時に、労働を提供し、生産した財を消費するものと考えたのだけれど、正しくないのでしょうか？したがって、企業が得た利潤はその労働者=企業所有者へ配分されるとしたのです。
それとも労働者＝消費者と企業は別物？

・あなたの答えL=(4w-Π)/3wを見ると、右辺にΠ（利潤？）が残っているのはどうして？それから、価格Pがなく、賃金ｗだけの関数となっているのはおかしいのではないか？どうしw/P（実質賃金）の関数となっていないのだろうか？？？あながいう「答え」は正しいのだろうか？
・私の式から労働需要を求めると
　　L = (1/4)/(w/p)^2
となります。
・w/pを求めるためには、w/pの関数としての労働供給関数をもとめ、労働需要＝労働供給から均衡の実質賃金w/pを決定します。

回答No.1

statecollege

企業は、生産技術q = L^(1/2) = √Lのもとで利潤Πを最大化する。すなわち、ｐとｗを所与として

　max Π = pq - wL = p√L -wL

を解く。利潤最大化の1階の条件は、Lについて微分して０とおくことによって

　　　0 =　ｄΠ/dL = (1/2)p/√L　- w

ここから、企業の労働Lの需要が実質賃金w/pの関数として得られる。答えは？

一方、消費者の所得は自分の労働を企業に提供して得た賃金と（企業の所有者として）企業から配当される利潤とからなる。それらを企業が生産した消費財を購入するために支出する。すなわち、消費者の効用最大化問題は、ｐとｗとΠを所与として

　　　max U = x・ｃ＾２

s.t.

　　　pc = wL + Π

　　　x + L = T

を解くことだ。制約条件を効用関数へ代入して、書き換えるなら

　　max U = (T-L)・[(wL + Π)/p]^2

効用最大化の1階の条件は,右辺をLで微分し、0と置くことで

0 = dU/dL = -[(wL + Π）/p]^2 + (T-L)2(w/p)[(wL + Π）/p] = -L + (T-L)(2√L)w/p

で与えられる。Π = p√L- wLを代入したことに注意。消費者の労働供給LはこれをLについて解くことで得られる。解いてみてください！(Lはw/pの関数となることを確かめよ。）

お礼

すいません、
労働供給Lは求まりましたので
w/pをどうも止めるのか教えていただきたいです。

補足

すいません
L=(4w-π)/3w
が答えなのですが、
-L + (T-L)(2√L)w/p=0を計算しても
4L^3/2-2L^1/2=1
となり僕の計算力では求められません
続きをお願いできますでしょうか...