解き方を教えてください

質問

中央に重量mの物体を載せた長さLの軽い台車の一端が水平面上、
他端が30°の傾きをなす斜面上にあるとき、台車に水平となす角度θを
もたせるためには台車に加える力Fはいかほどか。
水平面と斜面の摩擦は無視してよい。
添付図のように考えて
F-m*sinθ*cosθ-(m/2)*cos30°*sin30°=0
と、考えました。
解答は
F=m/{2*(tanθ+√3)}
と、なっています。
宜しくお願いいたします。

回答No.1

SKJAXN · ベストアンサー

解答は、重力加速度をgとすると、m*g/{2*(tanθ＋√3)}が正しいと思いますが、今一度、ご確認の程お願いいたします。
台車の左端にかかる垂直抗力をN1、右端にかかる垂直抗力をN2とおきます。さらに30°＝φとおきます。
力の釣り合いより、
水平方向は、F＝N2*sinφ　・・・(式1)
垂直方向は、m*g＝N1＋N2*cosφ　・・・(式2)
また、台車の中心を回転軸とした力のモーメントの釣り合いより、
L/2*N1*cosθ＝L/2*{F*sinθ＋N2*cos(θ－φ)}　・・・(式3)
(式2)をN1について解いた式と(式1)を、(式3)へ代入し、F、N1、Lを消去してN2について整理すると、
m*g*cosθ－N2*cosφ*cosθ＝N2*sinφ*sinθ＋N2*(cosθ*cosφ＋sinθ*sinφ)
⇔　2*N2*(cosφ*cosθ＋sinφ*sinθ)＝m*g*cosθ
⇔　N2＝m*g/2*cosθ/(cosφ*cosθ＋sinφ*sinθ)＝m*g/2/(cosφ＋sinφ*tanθ)
これを(式1)に代入するとFが求められます。
F＝m*g/2/(cosφ＋sinφ*tanθ)*sinφ＝m*g/2/(1/tanφ＋tanθ)
ここで、1/tanφ＝1/tan(30°)＝3/√3＝√3より、
F＝m*g/{2*(√3＋tanθ)}
となります。地道に力の釣り合いの式と、力のモーメントの釣り合いの式を立てることが正解につながるかと存じます。

お礼

SKJAXN さん、ありがとうございます。
大変分かりやすく、感謝いたします。

回答No.2

SKJAXN

補足ですが、垂直抗力N1は、その名の通り地面に対して垂直方向、すなわち鉛直方向に、垂直抗力N2は、斜面に対して垂直方向、すなわち鉛直方向に対して左斜め60°の方向に台車にかかります。

お礼

SKJAXN さん、ありがとうございます。