中学受験

質問

教えてください。

回答No.2

englishquestion

解法その２

DEを結んで考えます。
△ADE＝4x5/2＝10cm2　ですから、
△DEF=△ADE-△ADF=10-6=4cm2　です。

よって、
AF:FE=△ADF:△DEF=6:4=3:2
DF:FC=△DEF:△FEC=4:6=2:3
です。

（ACを結んで）△AFCの面積を考えると、
解法１と同様にして、△AFC=9cm2と分かります。

ここで、△ADE=△DEC（=9+6=15cm2）ですから、
DEとACは平行であることが分かります。
（△ADEと等積変形すると△DECになる、ということです）
よって、△DEFと△CAFは相似であり、
その相似比は、面積比が4:9になっていることから、2:3です。
ここから、DE:CA=2:3　と分かります。

△DBEと△ABCは相似であり、その相似比は、
DE:CA=2:3　ですから、
BE:EC=BD:DA=2:1 と分かります。

BD=2xAD=8　より、△DBE=DBxBE/2=8x5/2=20cm2　となるので、
求める四角形BEFDの面積は、△DBE+△DFE=20+4=24cm2 となります。

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解法1と2を通して、補足です。
BC上に点GをFGとBCが垂直になるように取っておいて、
解法1の途中ECを求めてから、△FEC=6cm2から、
FGの長さを求めるなどをしてから、（GE、DHなどを求めて）
四角形BEFDの面積を△DBF+△BEFと求めることもできます。
チャレンジしてみてください。

ちなみに、△DBF=△BEFになります。
BE:EC=BD:DA　であり、△ADF＝△CEFになるためです。
また、さらに、BFを伸ばして、ACとの交点をPとすると、
PはACの中点となります。
AP:PC＝△ABF:△CBF＝1:1となるからです。

（自分への備忘録としてメモさせていただきました）

回答No.1

englishquestion

解法その１

AB上に、点HをABとFHが垂直になるように取ります。
△ADFが6cm2であることから、その高さであるHFは、3cmです。
△AHFと△ABEは相似で、相似比は、HF:BE=3:5　です。
従って、AF:FE=3:2　になります。

（ACを結んで）△AFCの面積を考えると、
△AFC:△FEC=AF:FE=3:2　であり、△FECは問題から6cm2なので
△AFC=6x3/2=9cm2　です。

ここから、
△AEC=△AFC+△FEC=15cm2
DF:FC=△ADF:△AFC=6:9=2:3
が分かります。

△DHFと△DBCは相似で、相似比は、DF:DC＝2:5　です。
従って、BC=(5/2)HF=(5/2)x3=15/2　と分かります。
EC=BC-BE=15/2 - 5 = 5/2　となるので、
BE:EC=5:5/2=2:1　です。

すると、△ABE＝2△AEC＝2x15＝30cm2　とわかるので、
求める四角形BEFDの面積は、
△ABE-△ADF=30-6=24cm2　と分かります。

解法その２につづく