極限値の問題で教えていただきたいことがあります

質問

lim[x→∞](logx/x)^(1/x)
ですが
対数をとって
log(logx/x)^(1/x)
=(1/x){log(logx)-logx}
={log(logx)-logx}/x
として進めてみようと思ったのですがここから行き詰ってしまいできません

方針が違うのかもしれません。
ご助言お願いいたします

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

L=lim[x→∞] log((logx/x)^(1/x))
　=lim[x→∞] (1/x){log(logx/x)}
　=lim[x→∞] {log(logx/x)}/x

ここで
L1=lim[x→∞] (logx/x)
∞/∞型なのでロピタルの定理を用いて
L1=lim[x→∞] (logx/x)=lim[x→∞] (1/x)/1=lim[x→∞] (1/x)=+0

したがって　L→log(+0)/∞=-∞/∞型なので
ロピタルの定理を用いて
L=lim[x→∞] {log(logx/x)}'/1
　=lim[x→∞] (logx/x)'/(logx/x)
　=lim[x→∞] {((1/x)x-(logx)*1)/x^2}/(logx/x)
　=lim[x→∞] {(1-logx)/x^2}/(logx/x)
　=lim[x→∞] (1-logx)/(xlogx)
　=lim[x→∞] (1/(xlogx))-(1/x)
　=lim[x→∞] (1/(xlogx))　-lim[x→∞] (1/x)
　= 0 - 0
　= 0

∴lim[x→∞] (logx/x)^(1/x) = lim[x→∞] e^{(logx/x)^(1/x)}
　= e^L = e^0
　= 1　… (答)

お礼

ご丁寧に回答ありがとうございました
引き算にする必要なかったんですね
ロピタルにもっていこうかと思ったのですがうまくいかなかったので助かりました
極限値のところを勉強中なんですけどアタマがかたくまだまだ行き詰ってしまうこともあるので、もっといろいろなパターンに対応できるよう努力します