数ベクトル空間とは？
- 数ベクトル空間とは、数の組をベクトルとして扱うベクトル空間のことです。
- 数ベクトル空間は、K上の数ベクトル空間Vとして定義され、Vは数の組（a1, ..., an）からなります。
- 数ベクトル空間は、ベクトル空間の部分空間としても扱われることがあります。
- ベストアンサー
数ベクトル空間 ベクトル空間
数ベクトル空間について教えて下さい。 ベクトル空間の章で数ベクトル空間という言葉がかなり多く 用いられます。数ベクトル空間がどのようなものかよく分かりません・・・ 数ベクトル空間の定義 K上の数ベクトル空間Vとは、 数の組をベクトル空間として扱ったもので、 V:={（a1・・・an）｜a1,・・・,an∈K} と定義される。 ここで質問なのですが、数ベクトル空間は具体的にどのよう なものでしょうか？ また、数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間という理解は正しいでしょうか？ 数ベクトル空間でないベクトル空間 ってどのようなものがあるのでしょうか？ 数ベクトル空間の例とベクトル空間の例を具体的に示して頂けない でしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- RY0U
- お礼率40% (436/1071)
- 数学・算数
- 回答数20
- ありがとう数1
- みんなの回答 （20）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>W1={(1,0,0)} >W2={(1,0,0),(1,0,0)} >W3={(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)} >がR^3ベクトル空間の部分空間である事を示して貰えない >でしょうか？ どれも部分空間ではないし、ベクトル空間でも ありません。
その他の回答 (19)
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
R^2 ⊂ R^3 の話ですが、 R^3 における次元が２ の部分空間の一つが R^2 だと勘違いしているだけでは? ビデオの説明はそんな感じです。 (1, 2) ∈ R^2 だけど (1, 2) ∈ R^3 ではないので 無理です。
補足
ご回答ありがとうございます。 すごいわかりやすいです。 無理ですね。理解できました。 ちなみに、部分空間の例についてなんですが、 自身、{0}以外にもっと分かりやすいものはないでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
＞数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間という理解は正しいでしょうか？ もうひとつ。 部分空間というのは具体的な２つのベクトル空間の「関係」を表す言葉。 もっとメタに、 全て数ベクトル空間の集合は全てのベクトル空間の集合に包含される というのは正しい。 ＃つまりより上位の抽象概念であるということ。 でもこれは部分空間という関係ではないです。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>数ベクトル空間の例 R^n >ベクトル空間の例 多項式。 >数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間という理解は正しいでしょうか？ 正しくないです。A が B の部分空間ならば x ∈ A ⇒ x ∈ B が最低限必要。R^n は多項式ではありません。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
R^2 = { (a, b) | a, b ∈ R }, R^3 = { (a, b, c) | a, b, c ∈ R } だよね. どこをどう見たら「R^2 が R^3 の部分空間」になる?
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
OK, 「R^2はR^3の部分空間と認識しております」ってことだから当然証明をここに書けるよね?
補足
ご回答ありがとうございます。 証明できないです。 例えば、有理数は実数の部分集合だと認識してますが 、そう理解しているだけでこれも証明できません。 動画では、部分空間の例として当たり前のように紹介されて ますが、やはり違うのでしょうか？ Tacosanのご回答頂いた内容について参考になるようなURL等 紹介して頂けないでしょうか？ 以上、よろしくお願い致します。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」が本当に 「数ベクトル空間全体の集合」が「ベクトル空間全体の集合」の部分空間 を意味しているというのだとしたら, あなたは次のことを主張しているということになります: ・「数ベクトル空間全体の集合」や「ベクトル空間全体の集合」は (なんらかの係数体の上で) ベクトル空間をなす もしそうだとするなら ・その「なんらかの係数体」とはいったいなんなのか, 明確にしてください. ・ベクトル空間同士の和やベクトル空間と (なんらかの係数体の要素である) スカラーとの積の定義をきちんと書いてください. なお, 「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」が 「R^2やR^3などの全ての数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間と言えるのでは」 のような意味なんだとしたら, どの数ベクトル空間とどのベクトル空間との関係を言っているのか全く不明瞭である以上そもそも命題ではありません. R^2 は R^3 の部分空間じゃないでしょ?
補足
ご回答ありがとうございます。 R^2はR^3の部分空間と認識しております。 いろいろ調べていて、 ある大学の講義動画で、ちょうど良い説明を見つけました。 http://www.youtube.com/watch?v=3_2RfXYSDg0&feature=youtu.be 1:06:30付近です。 以上、よろしくお願い致します。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
数ベクトル空間なんてのは特殊なベクトル空間でしかないんだから, 「数ベクトル空間」であることを強調しなければならないような場面でなければ「ベクトル空間」と呼んでもかまわない. それとも, あなたは「正方形を四角形と呼んではいけない」と主張しますか? で, あなたのいう「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」とは 「数ベクトル空間全体の集合」は「ベクトル空間全体の集合」の部分空間である という意味でいいですか? そうでないとしたら, 私にはあなたが何をいっているのかさっぱりわかりません.
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞あなたのいう「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」 ＞とは「数ベクトル空間全体の集合」は「ベクトル空間全体の ＞集合」の部分空間である そうです。 R^2やR^3などの全ての数ベクトル空間はベクトル空間の部分 空間と言えるのでは？という疑問です。 ＞そして「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」という ＞表現は「部分空間」をきちんと理解していれば出てくるはず ＞のないもの. 出てくるはずのないものとなるのはなぜですか？ この点について教えて頂けないでしょうか？
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「R上連続な関数の集合」は {f|f は R上連続な関数} って書けばいいね. 「連続」も定義まで戻すことはできるけど, それが必要なら自分でやってください. で「部分空間」のところだけど.... 「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」っていっちゃうと, 「数ベクトル空間全体からなる集合」とか「ベクトル空間全体からなる集合」ってものを意識することになるよね (「部分空間」は「部分集合」を意味する). これを数ベクトル空間V とベクトル空間U を任意に持ってきたときに「V が U の部分空間か」という問だとしても, 必ずしもそうでないことはほぼ自明じゃないか?
補足
ご回答ありがとうございます。 数ベクトル空間について、R^2やR^3など具体的な空間について R^2やR^3を単にベクトル空間と言ったりします。 数ベクトル空間なのになぜベクトル空間と言うのでしょうか？ ベクトル空間の中で、例えば実数や複素数などの数だけに限定して考えた空間の事を数ベクトル空間と言うのではないのですか？ だから、数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間と言えるのでは考えた次第です・・・ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
実数の集合 R に対し R は R上数ベクトル空間になるし, 「R上連続な関数の集合」は R上の (数ベクトル空間でない) ベクトル空間をなす. そして「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」という表現は「部分空間」をきちんと理解していれば出てくるはずのないもの.
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞「R上連続な関数の集合」は R上の (数ベクトル空間でない) ＞ベクトル空間をなす. R上連続な関数の集合とは、数式で表すにはどのように表せば良い のでしょうか？ 部分空間ですが、 和とスカラー倍が閉じているベクトル空間Vの部分集合Wの事を 部分空間と理解しています。 部分空間と言えないという反例を示したいのですが、どのように すれば良いでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- 1
- 2
関連するQ&A
- ベクトル空間など
(1){An}n=1~∞ : An+2 + An+1 + An + An-1 = 0, a≧2 の時=0の時、≧0の時の２つ、ベクトル空間かどうか調べよ。 ベクトル空間でないときその理由を述べよ。 (2)Aがエルミート行列の時その固有値は実数であることを示せ。 その時異なる固有値a≠bのそれぞれの固有空間 ker(a-A),ker(b-A)は直交することを示せ。 (3)Wをn次元ベクトル空間Uの部分空間とするとき dimW = dimU ⇔ W=U を示せ (2)は実数であることは示せたんですが後半がわからないです… どなたか教えていただけないでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトル空間 次元 について
前回質問（数ベクトル空間 ベクトル空間）させて頂いた内容です。 http://okwave.jp/qa/q8631000.html#answer 前回の質問内容を整理してわからなかった点を再度質問させて頂きます。 ベクトル空間の次元についてですが、以下のように理解しました。 Vはベクトル空間であるとします。 x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 と理解しました。 R^2は2次元ベクトル空間 R^3は3次元ベクトル空間 R^nはn次元ベクトル空間 という説明がウェブ上で多々ありますが、 これは、ベクトル空間の「成分の数（項数）」であって次元とは関係 ないと理解しました。 ここまでで間違いありますでしょうか？ 間違いがあればご指摘よろしくお願い致します。 *****以下、質問内容***** x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 ですが、 (1)、(2)、(3)はいずれもR^3の部分空間とのことなのですが、この点がよくわかりません・・・ 私のイメージなのですが、 (1)⊂(2)⊂(3)のイメージがあるのですが、これは大きな間違いでしょうか？ 3次元ベクトル空間の部分空間は2次元ベクトル空間と1次元ベクトル空間 と言ったイメージなのですが・・・ R^3の部分空間であるとは、「成分が3つのベクトル空間」の部分空間と言う事で、 次元とは無関係ですよね？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル空間における「体積」について教えてください。
ベクトル空間における「体積」について教えてください。 Rを実数体とし、Vをn次元Rベクトル空間とする。 正定値かつ対称な双線形形式< , >：V×V→Rが存在するとする。 このとき、n個の一次独立なベクトルv_1,・・・,v_nで張られる集合Aを考える。 A＝{r_1v_1+・・・+r_nv_n|r_i∈R 0≦r_i＜1} Aの体積V(A)を、V(A)：＝|det(<v_i,v_j>)|^(1/2)と定義する。 では、Vの任意の部分集合Aに対しては、どのようにして体積を定義するのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分ベクトル空間であることの証明
Vをベクトル空間、WをVの空でない部分集合とする。 集合Wが次の2条件（1）（2）を満たせば、Wはベクトル空間（加法とスカラー倍はVのと同じものを使う）になることを示せ。 （1）Wの任意の元a,bに対して、a+bもWの元となる （2）Kの任意の元k、Wの任意の元aに対して、kaはWの元となる この証明なのですが、以下のように示しました。 （∵） WがVの部分ベクトル空間であるには、 （1）Wが空集合でない （2）Wがベクトル空間の性質を全て満たす （3）Wが加法、スカラー倍について閉じている の3つである。 （1）は題意より明らか。 （2）は、Vがベクトル空間で、WはVの部分集合であることから、Wも当然ベクトル空間の性質を満たす。 したがって、残りの（３）のみを満たしていれば良い。 Q.E.D こんな感じでよろしいでしょうか？ 稚拙な部分等ありましたらご指摘お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトル空間の問題について
はじめまして、試験が近いのですが分からない問題があるので質問させていただきます。 「Vを空間上の有向線分のなすベクトル空間とする時、 １）一つの直線L上の有向線分全体WはVの部分空間であることを示せ。 ２）一つの平面π上の有向線分全体XはVの部分空間であることを示せ。 ３）Vの部分空間は、上記１）２）のタイプと、V自身、｛０｝のみであることを示せ。」 「V×Wが (v1,w1)+(v2,w2):=(v1+v2,w1+w2) λ(v,w):=(λv,λw) で定義された演算でベクトル空間になることを証明せよ。」 この二つの問題です。 頭を捻っても解答が出てこないので質問をさせていただきました。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトル空間:次元
（問題）京大 Ｆを体とし、Ｆの元からなる列｛Ａn｝n=1 to ∞でＡn+2＝Ａn+1 + Ａn （ｎ Ｖは項別の和とスカラー場でＦ上のベクトル空間とみなす。ＶのＦ上の次元を求めよ。 という問題ですが次の回答 （解き方） Ｆ上のベクトル空間はＯＫです。0ベクトルは（０，０，０、-----------） ひとつのベクトルとして、(1)ａ≠０、（０，ａ，ａ、ａ、-------） (2)もうひとつはａ≠０,（ａ，b、a+b,a+2b、2a+3b、3a+5b、---------）から各項をａで割った（1，b/a、1+b/a,1+2b/a、2+3b/a、3+5b/a、---------）は、(1)と独立なベクトルでb/aをｃとおけば（1，ｃ、1+ｃ,1+2ｃ、2+3ｃ、3+5ｃ、---------）となり、(1)以外のベクトルはこう表現できるので、２次元である。Ｆが実数の場合はこれでいいのかと思いますが一般の体Ｆではどうすべきでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル空間（抽象論）
また質問させていただきます。今高校3年ですが、進路が決まった ために先の勉強を独りでやっています。部分空間の話あたりまで なんとか読み進めているのですが、ちょっとわからない問題に 出くわしました。「解答略」といかめしい記述のある参考書で私 には重い壁です。 問題： 正の実数の集合R＝{x∈R｜x＞0} がR上のベクトル空間となるように和とスカラー倍を定義しなさい。 （ただし公理を示す必要はなく、零ベクトルと、x∈Rの逆ベクトル が何かを証明なしで答えてほしい）さらにそのベクトル空間の次元と 1組の基底を証明も交えて答えよ。 というものでした。次元と基底の意味はぼんやりわかっている程度で、 それぞれ、「基底を構成するベクトルの個数」と、「一次独立かつ 生成系であるベクトルの組」ですよね。上記の問題があまりにも抽象 的で、定義せよと言われても書くとすればどうすればよいのかという ことなのです。 特にこれができなければ先へ進めないということでもないかもしれま せんが、もやもやしてスッキリしません。どなたか具体的にご教授願 います。書いていただけると問題の意味がわかるかもしれないので。 お願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトル空間
ベクトル空間 K^m の部分ベクトル空間 W1,W2 に対して，dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) －dim(W1 ∩ W2)が成り立つことを次のように示せ. dim(W1 ∩W2) = k, dim(W1) = m1,dim(W2) = m2 とおく.W1 ∩W2 の基底 w1,...，wk ∈W1 ∩W2 をとり，u1,...,um1－k ∈ W1 を，w1,...,wk,u1,...,um1－k が W1 の基底になるよう に選ぶ.また，v1,...,vm2－k ∈ W2 を，w1,...,wk,v1,...,vm2－k が W2 の基底になるように 選ぶ. (1) W1 +W2 のm1 +m2 －k 個のベクトル w1,...,wk,u1,...,um1－k,v1,...,vm2－k は 1 次独立であることを示せ. (2) W1 + W2 の任意のベクトルは，m1 + m2 － k 個のベクトル w1,...,wk,u1,...,um1－k,v1,...,vm2－k の一次結合で表されることを示せ. この問題、分かる方おられますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルが3次元実ベクトル空間を動くとき
以下の行列Aについて、すべての問いに答えなさい。 |1 4 0 | A = |1 0 2 | |0 2 -2 | (1) 行列Aの固有値を求めなさい。 (2) 行列Aの各列をベクトルa1,a2,a3で以下のように表す。 A=(a1,a2,a3) これらの3個のベクトルの従属関係を式で示しなさい。 (3) ベクトルxが3次元実ベクトル空間(線型空間)V全体を動くとき、これによってつくられる点の集合を W1={Ax|x∈V} とする。この集合がつくる実ベクトル空間の次元を求めなさい。 (4) ベクトルpをp=t(1,2,1)とする。ベクトルxがx・p=0となるような3次元実ベクトル空間Vを動くとき、xがどのような図形を描くか答えなさい。なお、t()は転置を表し、x・pはxとpの内積を表す。 (5) (4)のようにxが動くとき、集合 W2={Ax|x∈V,x・a=0} がつくる実ベクトル空間の次元を求めなさい。 という問題があるのですが、 (1):λ1=3, λ2=0, λ3=-3 (2):略 (1),(2)は合ってる自信があります。 (3) |1 4 0 | |1 4 0 | A = |1 0 2 | = |0 -4 2 | |0 2 -2 | |0 0 0 | これはrank=2となり、xをかけてもrankは変わらないので、 次元は２ (3)は次元は合ってる気がするのですが、答え方が間違ってるような気がします。 (4),(5)の解き方が分かりません。 (4)はx・p=0なので直交することは分かるのですが、これをどう使うかが分かりません。 (5)は(4)が解けないと解けないのですが、(4)が解けたとしてもaというよく分からないの出てきてて、解けなくなってしまいそうです。 どなたか(3),(4),(5)を解いて下さる方いらっしゃいませんか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 基底ベクトル 標準基底 正規直交基底 基本ベクトル
基底ベクトルについて質問させて下さい。 基底の定義は、 V（Vは体K上の線形空間とする）のVの元であるベクトルの組｛v1,v2,v3,・・・vn｝が、 線形結合で表され、v1,v2,v3,・・・vnがそれぞれ一次独立である場合を基底という。 基底の数は無数に存在する。基底を構成するベクトルを基底ベクトルと呼ぶ。 例えばR^2の基底は、 （1,0），（0,1）や（1,0），（1,1）などである。 以上のように理解しています。 ここまでで、間違いはありますでしょうか？ R^2における基底で、 （1,0），（0,1）は特に標準基底、正規直交基底などと呼ばれます。 また、基本ベクトルと呼ばれることもあります。 このR^2における（1,0），（0,1）は一般的にはどのように呼ばれる のでしょうか？ 基本ベクトルと呼ぶのは、あまり一般的ではないでしょうか？ 標準基底・正規直交基底と呼ぶ方が一般的なのでしょうか？ 分野によって使われる言葉も違うと思いますが、ご教示下さい。 また、単位ベクトルについても教えて下さい。 単位ベクトルの定義は、ベクトルの長さ（ノルム）が1になるベクトルと理解しています。 （1,0）や（1,0,0），（0,1,0）は単位ベクトルですが、 （-1,0,0）もノルムが1のベクトルになると思います。 （-1,0,0）も単位ベクトルと言って良いのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。 お礼が遅くなり申し訳ございません。 今までご回答頂いた内容をもう一度見直して整理させて 下さい。 分からない点が再度わからない点があれば質問させて下さい。 何度もご回答本当にありがとうございました。