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絶対値に関して

a=∫｛０→１｝１/（１＋ｘ）ｄｘ a(n)=∫｛０→１｝１－（－ｘ）＾ｎ/（１+ｘ）ｄｘ において｜a(n)－a|を絶対値記号をはずしたとき ∫｛０→１｝ｘ＾ｎ/（１＋ｘ）になると書いてあるのですが理解できません。 どなたかご教示いただければありがたいです　お願いします

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  • info222_
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回答No.2

>a(n)=∫｛０→１｝１－（－ｘ）＾ｎ/（１+ｘ）ｄｘ この書き方では次のどちらか、正しく伝わりません。 a(n)=∫｛０→１｝(１－（－ｘ）＾ｎ)/（１+ｘ）ｄｘ a(n)=∫｛０→１｝１－(（－ｘ）＾ｎ/（１+ｘ）) ｄｘ 積分範囲｛0→１}から x>0…(※1) であることはわかります。 前者であれば A=｜a(n)－a | = |∫｛0→１｝(１-(-ｘ）＾n)/（１+ｘ） ｄｘ-∫｛0→１｝１/（1+ｘ）ｄｘ | = |∫｛0→１｝{ (１-（-ｘ）＾n)/（１+ｘ） -１/（1+ｘ）}ｄｘ } | = |∫｛0→１｝(-（-ｘ）＾n)/（1+ｘ）dｘ} | =|∫｛0→１｝(-（-1)^n)*ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ | ◆ nが奇数のとき　-(-1)^n=+1なので A=|∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ | (※1)より　ｘ＾n/（1+ｘ）>0 なので∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ >0　であるから 絶対値が外せて A=∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ ◆ nが偶数のとき　-(-1)^n=-1なので A=|∫｛0→１｝-ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ | =|-∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ | =|∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ | (※1)より　ｘ＾n/（1+ｘ）>0 なので∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ >0　であるから 絶対値が外せて A=∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ 以上から　nの奇数、偶数に関わらず A=∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ が成り立つ。

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  • yyssaa
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回答No.3

＞No.1です。回答No.1を補足します。 ＞a(n)-a=∫{0→1}{1-(-x)^n}/(1+x)dx-∫{0→1}1/(1+x)dx =∫{0→1}1/(1+x)dx-∫{0→1}(-x)^n/(1+x)dx-∫{0→1}1/(1+x)dx =-∫{0→1}(-x)^n/(1+x)dx=-(-1)^n∫{0→1}x^n/(1+x)dx |a(n)-a|=|-(-1)^n∫{0→1}x^n/(1+x)dx| ここまでは同じ。 上の式は |a(n)-a|=|-(-1)^n|*|∫{0→1}x^n/(1+x)dx| ここで|-(-1)^n|=1だから |a(n)-a|=|∫{0→1}x^n/(1+x)dx| ここで∫{0→1}x^n/(1+x)dx＞0はnの値によらず常に成り立つので、 右辺の絶対値記号はそのまま外れて |∫{0→1}x^n/(1+x)dx|=∫{0→1}x^n/(1+x)dxが成り立ち、 |a(n)-a|=∫{0→1}x^n/(1+x)dxとなる。 なお、左辺のa(n)-aは nが偶数のときはa(n)-a＜0となりa(n)-a=-∫{0→1}x^n/(1+x)dx nが奇数のときはa(n)-a＞0となりa(n)-a=∫{0→1}x^n/(1+x)dx いずれにしても|a(n)-a|＞0だから |a(n)-a|=∫{0→1}x^n/(1+x)dxとなる。

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  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.1

＞a(n)-a=∫{0→1}{1-(-x)^n}/(1+x)dx-∫{0→1}1/(1+x)dx =∫{0→1}1/(1+x)dx-∫{0→1}(-x)^n/(1+x)dx-∫{0→1}1/(1+x)dx =-∫{0→1}(-x)^n/(1+x)dx=-(-1)^n∫{0→1}x^n/(1+x)dx |a(n)-a|=|-(-1)^n∫{0→1}x^n/(1+x)dx| ここで∫{0→1}x^n/(1+x)dx＞0だから |a(n)-a|=∫{0→1}x^n/(1+x)dxとなる。

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