双曲線上のフック

質問

双曲線上において等間隔、左右対称
且つ、双曲線面に鉛直になるように
フックが幾つか配置されている
と、します。

紐を用意し
此等フックに掛けます。

加えて
棒も用意し
同一双曲線上で
左右対称になるよう
上記の紐と括ります。

棒に対して
変形しない範囲で
荷重を掛けた時、

紐がフックに及ぼす力は
不均一ですか？
それとも均一ですか？

解説を交え
ご教示頂ければ幸いです。

どうぞ宜しくお願いします。

P.S.
例として
10kgの物を
耐荷重1kgのフック
十数個で支える
此を目指します。

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

ANo.5へのコメントについて。

　ANo.5の回答は、もちろん材料力学の常識的な仮定である、微小変形の場合についての話です。
　もしフックを柔らかい物に取り付ければ、当然、荷重によってフックの向きが大きく変わります。これはフックの並べ方が半円だろうが双曲線だろうが同じこと。計算だの、目で見るだの、質問者氏の感覚だの、そんな話以前の、全く自明のことです。
　目に見えるほどの変形が生じる場合、半円形に等間隔でフックを並べると、フックの先端は（曲がる前に比べて半径は小さくなるものの）概ね半円状に並んだままです。ここに「概ね」が付くのは、紐が棒に括り付けてある所の棒上での位置が動かないため。
　もし棒なんかなければ、話が分かり易くなります。すなわち、円周上に等間隔でフックを並べ、その先端に紐を掛けておいて、紐の長さを短くする、という場合を考える。すると、全てのフックの先端は円の中心に向かって同量だけ曲げられ、従って、フックの先端は（元よりも半径が小さい）円周上に並んだままです(添付の図を参照方）。この場合、「概ね」は付きません。

お礼

では、結論としては
1つ辺りの耐荷重を上回る荷重を
複数のフックと、紐状の物で、
支えようとする時。

双曲線ではなく
半円形にフックを並べるべき。

と、言うことですか？

そしてその時、
棒と紐の結び目は、
全くほんの少し、
正にほんの少し、
内側に設ける、
と、言うことですか？

回答No.5

stomachman

やっとこさ図を出してもらえた…これまでのご説明のうち、この図と矛盾する記述は無視すれば良いでしょうね。
　この図に加えて、ANo.4氏のご推察に従って
● フックは図の平面に垂直であって、どれも長さが同じである
ということだと解釈しましょう。（それが正しい解釈かどうかについて、質問者氏はまだ明言していないようですが。）
　また、荷重がどこに掛かるかが図には描かれていない。しょうがないんで、ま、棒の中央に荷重を掛けるのだと思う事にしましょう。さらに、（紐はフックに縛り付けてなくて、従って）紐の張力が至る所同じなのだ、ということにしましょう。

　もし以上のようにご質問を解釈するのが適切であれば、回答は以下の通りです：
　この回答に添付した図は紐（緑）がフックに掛かっているところで折れ曲がっている部分だけを示したものです。フックに掛かっている点において紐がどれだけ折れ曲がっているか、その角度θが大きいほど、フックの先端に掛かる力が大きい。（定量的には、紐の張力をTとすると、フックの先端に掛かる力の大きさFは
　　F = 2Tsin(θ/2)
になる。そして、フックに掛かる曲げモーメントの大きさは、Fをフックの長さで割ったものです。）ですから、たとえば円弧上にフックを等間隔に並べれば、どのフックに掛かる力も大きさが同じになります。
　フックの個数が無限に多い極限では、フックに掛かる力の大きさは、その点における曲線の曲率だけで決まります。なので、どのフックでも力の大きさが同じになるような曲線の形は円弧です。双曲線だと、曲率が大きい部分（つまり、図の真ん中の一番高い部分）に一番大きな力が掛かることになります。

　もちろん、以上の話がご質問の意図とは異なるのであれば、違いを明確にするよう説明をお願いします。
　（なお、ANo.3へのコメントについて、「川に沿った散歩道」と聞いて「川の中をずぶずぶ散歩するんだな」と思う人以外にとっては、ANo.3の図の紐は双曲線に沿っています。）

お礼

仰るように
円弧に紐を
掛けたとします。

例えとしては
半円弧型の柔らかい素材
軟質のタイヤのようなものが
変形が顕著に見れそうなので
いいかな
と思います。

此は計算するとか、論議するとか、
其れ等の以前の話で
実際にどうなるか、
目で見れば
解ると思います。

如何でしょうか？
私の感覚では、
円形はひしゃげそうに思うのですが？
円を保ちますか？

後お陰で、
何となくではありますが、
双曲線の仕組みが分かれた…
ように思います。

此の点は、素直にお礼申します。
有り難うございます。

回答No.4

noname_deadbeef

私も最初にフックと聞いて
根元があって、長さがあって、ぶらぶらしているやつを想像したのですが、
「鉛直？って外側に？内側に？ぶらぶらはしていないってこと？」
（中略）
つらつら考えてみるに、壁（双曲線が書いてある）に釘を真っ直ぐに突き立てろ、という意味なのではないかと気づいたのです。

フックが曲がるのがいやなら画ビョウを使えばいいのに。そしてなぜ壁（フックの根元）に双曲線を書くかな。フックのひもがかかる所が双曲線上に来るようにフックを取り付ける、でいいのに。

聞き手は「二次元で済みそうな問題の説明は二次元の範囲で行われる」ものと思っていますし、そうでなくても三次元目が出てくると言葉による説明は百倍難しくなります。

「物理の教科書のような標準的な説明を心掛けろ、でなければ図解を拒否すんな」

というような予想は六割方外れるので、解答編はすべてのなぞが解けてからにしましょう。図解お願いしますね。

お礼

>フックのひもがかかる所が双曲線上に来るようにフックを取り付ける、
なるほど！
有り難うございます。

図をアップ致しましたのですが
此の様なものでも
参考になれば幸いです。

どうぞ宜しくお願い致します。

因みに
黒が双曲線
赤が棒
黄色が紐
青がフックです。

SpecialThanks　ＤｒａｆｔＳｉｇｈｔ

回答No.3

stomachman

> この程度で

> 挫けるとでも？

何か勘違いなさってるんではありませんかね。攻撃してる訳じゃありません。単に、説明が分からんと言っているんです。

> フックはお示し頂いた図からして

> こんな感じです。


「こんな」って一体どんな？第一、「感じ」じゃ計算になりませんよ。

> 此の双曲線がなす面から

> 逸脱しない位置に

> 配してしてくださいね。

　「此の双曲線がなす面」って一体何の事でしょうか？もし「この双曲線が存在している平面」のことを指しているのなら、それはANo.2の図の平面そのものですから、ANo.2の図のフックは全部この平面上にあるわけで、ANo.2の図のフックの配置は文句ないんでしょうかね。
　で、フックの長さについては何も指定しないんですか？しょうがないんで、フックはどれも同じ長さだと仮定しましょうか。

> 紐はこんなではなく

> 割合双曲線に沿う感じで

端にあるフックから順に紐を引っかけるということでしょうかね。

> 棒を割合、

> と、いっても

> ほぼ、又は全く正しく水平に


「割合」だの「ほぼ」だのは無視しますと、要するに
(1) 棒は水平である。
という事ですかね？

> 且つ、

> 此の双曲線の

> 焦点を結んだ延長線上


「焦点を結んだ延長線」とは一体、焦点と何とを結ぶのかが不明です。もしかして、双曲線の二つの焦点を通る直線ということかな？だとするとこの直線は鉛直である。

> 此に対する鉛直線に沿う形で

「此」が上記の「双曲線の二つの焦点を通る直線」を指すのであれば、この直線自体が既に鉛直（重力の方向を向いている）。「 此に対する鉛直線」は意味不明です。
　あるいは、もしかして、またしても「鉛直」と「垂直」を混同なさってるのかな？（両者の違いはANo.2に説明した通りです。良く読んで憶えて下さい。）そうだとすると、単に
(1)棒は水平である
ということを再び言っているだけ？


> フック群に対し　そうは離れない

> 全てのフックの下の位置に

何だかよく分からんが、
(2) どのフックよりも下に棒がある。
ということらしい。ま、さして意味のある記述ではなさそうなんで、無視しましょうか。


> 且つ、

> 此の双曲線の

> 結んだ延長線上に

双曲線が延長線を結ぶ、って、一体全体どういう意味でしょうか？？これは全然分からない。しょうがないから無視です。


> 棒の重心が沿うように

（何かの線に）重心が沿う、という表現はまるで意味不明。無視するしかありません。


> 且つ、

> 此の双曲線がなす面から
> 逸脱しないように

> 配します。

「此の双曲線がなす面」ってのは、この双曲線が存在している面、つまりANo.2の図の平面のことですよね？ならば、
(3) 棒はこの図の平面上にある。
という意味でしょうかね。

> 余談ですが、

余談は無視します。何言ってるのかさっぱり分からんですし。

> 先ほど仮に垂らした紐を

> 棒と双曲線が交わる位置で

> 棒と括ります。

これは分かります。

以上を勘案したのが、この回答の図です。

> 此の棒に荷重を掛けた

棒のどこに荷重を掛けるかを指定しないと駄目ですが、ま、真ん中に掛けるとしましょうか。

　で、元のご質問に戻ると、

> 紐がフックに及ぼす力は
> 不均一ですか？
> それとも均一ですか？

（「均一」の意味が不明確です。フックの先端に掛かる力の大きさのことなのか、その力がたとえばフックを曲げようとするモーメントの大きさのことなのか。しかしながら、）フックに紐が掛けてある（フックに紐がくくりつけてある訳ではない）ということは、紐に掛かる張力は至る所同じだと仮定する（というのが材料力学における暗黙の了解であり、）ならば、明らかに、両端のフックに掛かる紐の力が著しくアンバランスですから、過大な荷重が掛かればこれら二つのフックがまず屈して（内側へ）曲がるだろうことは、計算なんかしなくたって容易に分かります。
　しかし、こういう話ならわざわざ双曲線なんか持ち出すまでもないわけで、ということは、この回答の図もまた、本来意図なさっているものとは違うんじゃないでしょうか。（だから図を付けて欲しいと申し上げてるですけどね～）

お礼

紐が双曲線に沿ってないと思いますよ
如何ですか？

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。

　なんのこっちゃら、全然分かりません。

　どのぐらい全然分からんのかご理解戴くために、ご説明に完全に合致している解釈の一例の図を添付します。もちろん、ご質問がこんな図の話であるわけがないんですが、しかし、こういう解釈ができる説明しかなさっていない。
　ご説明が全然伝わらんのを図で補って戴きたいのであって、もちろん、正確に作図する必要などありません。図の添付は手書きでできるはず。

> フックが双曲線に対し

> 鉛直になるようにします

1「鉛直」とは、重力の方向、という意味であり、言い換えれば水平面に対して垂直という意味ですから、「双曲線に対し鉛直」なんてことはあり得ません。（だから、正しくは単に「鉛直」なのかなと考えて、ANo.1では吊り橋や首吊りの図を出したんですが、どうもそうではないらしい。だとすると）「双曲線に対し垂直」の間違いではないですか？

2 仮に「フックが双曲線に対し垂直」だとしても、それが「垂直」だと言えるためには、フックに長さがあることが絶対に必要です。しかし、その長さが記載されていない。長さは勝手に決めたてんでばらばらで良いということ？（それでは話にならんでしょう。）

> 配置したフックに一本の、

> 一筋だけの紐を掛けます。

幾つかのフックに「掛ける」ということが分らないっすね。

3 全てのフックの先端を通るように1本の紐を掛けるんでしょうか？紐はフックの先端に掛かっているんですか？

4 全てのフックの先端を通るように1本の紐を掛ける紐の掛け方は、無数にあります。どう掛けるんでしょう？

> 此の今フックに掛けた紐に

> 直接棒を括ります。

> 括る位置は双曲線上です。


紐がフックの先端に掛かっているのであれば、紐が双曲線上に来るとは限らないわけですが…

5 紐の一体どこに棒を括るんですか？「たまたま紐が双曲線と交差する点」に棒を括り付けるのですか？

6 棒の一箇所だけに紐を括り付けるんでしょうか？紐が複数の点で双曲線と交差するかも知れませんが。

> 今の棒に荷重を掛けます。

7 棒の一体どこに荷重を掛けるんでしょうか?

お礼

なるほど！
確かにこう解釈したなら
意味不明ですね。

では
こういう解釈に　ならないように
追加説明を　させて頂きたく
思います。

フックはお示し頂いた図からして
こんな感じです。

ただし、
此の双曲線がなす面から
逸脱しない位置に
配してしてくださいね。

紐はこんなではなく
割合双曲線に沿う感じで

例えば、
紐の真ん中を
フック群がなす山形の
其のてっぺんに当たるフック、
一番高い奴に合わせる感じで

フックに順に　全て引っかかるように
上からそっと降ろすと

完全一致する訳ではないですが、
割と双曲線に近しい形に
左右両端のフック間は　なると思います。

で、この時
両端のフック間の外、
右端のフックの　更に右側、
左端のフックの　更に左側、
此等は、
支える物がないので
垂れ下がってる
と、思いますが、

仮に
そのままにしておきます。

棒を割合、
と、いっても
ほぼ、又は全く正しく水平に
且つ、
此の双曲線の
焦点を結んだ延長線上
此に対する鉛直線に沿う形で
フック群に対し　そうは離れない
全てのフックの下の位置に
且つ、
此の双曲線の
結んだ延長線上に
棒の重心が沿うように
且つ、
此の双曲線がなす面から
逸脱しないように
配します。

余談ですが、
手を離したら落ちる、
等は受け付けませんよ、
其れで良いですか？

落ちるなら
二人で作業するなり、
何かで支えればいい
そう言う話ですし、

本筋の話からは
逸れていますよね？

なので、
受け付けないことにしますが、
良いですか？

余談に走り、済みません。
本題に戻ります。

先ほど仮に垂らした紐を
棒と双曲線が交わる位置で
棒と括ります。

此の際の
棒と双曲線の交点は
一カ所ではなく、
左右の二カ所になる
と、思います。

ですので、
自ずと、括る箇所も
二カ所括るように
お願いします。

此の棒に荷重を掛けた
と、してください。

P.S.
この程度で
挫けるとでも？

オッと、今のは失言ですね、
お許しください。

回答No.1

stomachman

ご質問の状況がよく分からんので図を示していただけないでしょうか。（たしか、質問には後からでも図が追加できるはずです。）まるで吊り橋のように、空中に架けられた曲線の途中からいっぱい紐が出ていて、その紐が鉛直に垂れ下がったところに水平な棒がくっついている、というイメージですかね。それとも、「双曲線面に鉛直になるように」紐がてんでな方向を向いているということでしょうか。

　ついでに吊り橋の話をしておこうかな。あの曲線は放物線です。紐が等間隔で垂れ下がっている。つまり、曲線に沿って見ると紐は不等間隔で取り付けられています。そして、どの紐にも同じ荷重（紐1本当たりの道路の質量）が掛かっています。また、漱石の「我が輩は猫である」に出て来る「遊女の首吊り」の話は、長いロープに等間隔に取り付けた紐で沢山の遊女が一斉に首を吊る。紐はロープの曲線に沿って等間隔に取り付けられ、どの紐にも同じ荷重（遊女の体重）が掛かっている。この場合には、ロープの曲線は懸垂線になります。

補足

双曲線を掛ける環境がないので
図示は…

焦点が鉛直に並ぶ
下が開いた双曲線を
思ってください。
まるで山のようですよね？

其の山のような双曲線の
てっぺんに一つ点を

左右に双曲線上で言うところの
等距離上に点を幾つか
配してください。

今配した点の位置にフックを配置します。
但し、この際は
フックが双曲線に対し
鉛直になるようにします。

配置したフックに一本の、
一筋だけの紐を掛けます。

此の今フックに掛けた紐に
直接棒を括ります。
括る位置は双曲線上です。

今の棒に荷重を掛けます。

こんな感じです。

因みに、
双曲線は　しばしば放物線で代用されますが、
其れはあくまでサブセット的な、パチモン
代用にすぎない
と、聞いています。