Definite integralの問題 2

質問

いつも大変お世話になっております。

Definite integral の問題をといてみました。
添付の解答が合っているかどうかご確認をお願いできますでしょうか。
間違えていたらご教授頂ければ幸いです。
（今回かなり苦戦しているので、出来れば詳しく教えて頂けると助かります。）

お手数をおかけ致しますが、
どうぞよろしくお願い致します。

回答No.3

yyssaa

(1)＞正解です。
因みに2x^2+1=tとおいて、dt/dx=4x、(1/4)dt=xdx
x=0でt=1、x=1でt=3だから
∫[x=0→1]20x(2x^2+1)^4dx=∫[t=1→3]20t^4(1/4)dt
=5∫[t=1→3]t^4dt=5{(1/5)t^5}[t=1→3]
=5[(1/5)*3^5-(1/5)*1^5]=3^5-1=242
(2)∫[x=0→2]x/(x^2+1)dx
＞x^2+1=tとおいて、dt/dx=2x、(1/2)dt=xdx
x=0でt=1、x=2でt=5だから
∫[x=0→2]x/(x^2+1)dx=∫[t=1→5](1/2)(1/t)dt
=(1/2){ln|t|}[t=1→5]=(1/2){ln5-ln1}=(1/2)ln5・・・答
(3)∫[x=0→2]xe^(2x^2)dx
＞2x^2=tとおいて、dt/dx=4x、(1/4)dt=xdx
x=0でt=0、x=2でt=8だから
∫[x=0→2]xe^(2x^2)dx=∫[t=0→8](1/4)e^tdt
=(1/4)(e^t)[t=0→8]=(1/4)(e^8-e^0)=(1/4)(e^8-1)・・・答