Definite integralの問題 2

質問

いつも大変お世話になっております。

Definite integral の問題をといてみました。
添付の解答が合っているかどうかご確認をお願いできますでしょうか。
間違えていたらご教授頂ければ幸いです。
（今回かなり苦戦しているので、出来れば詳しく教えて頂けると助かります。）

お手数をおかけ致しますが、
どうぞよろしくお願い致します。

回答No.2

info222_

>今回かなり苦戦しているので、出来れば詳しく教えて頂けると助かります。

3問とも、置換積分でもできますが、合成関数の積分公式を使えば一発でできます。

合成関数の積分公式
F(x)=∫f(x)dxとおくと
∫[a,b] g'(x)f(g(x)dx=F(b)-F(a)

(1)
I=∫[0,1]20x(2x^2+1)^4 dx
合成関数の積分公式を適用
g(x)=2x^2+1, g'(x)=4x, f(x)=x^4, F(x)=(1/5)x^5
より
I=5∫[0,1] 4x(2x^2+1)^4 dx=5∫[0,1] g'(x) f(g(x))^4 dx
=5[(1/5)*(2*1^2+1)^5-(1/5)*(2*0^2+1)^5]
=3^5-1^5=242 …(答)

答は合っています。

(2)
I=∫[0,2] x/(x^2+1) dx
合成関数の積分公式を適用
g(x)=x^2+1, g'(x)=2x, f(x)=1/x, F(x)=ln(x)=log[e](x)
より
I=(1/2)∫[0,2] 2x/(x^2+1) dx=(1/2)∫[0,2] g'(x) f(g(x)) dx
=(1/2)[ln(2^2+1)-ln(0^2+1)]
=ln(5)/2 …(答)
(≒0.804718956217…)

答は間違ってます。

(3)
I=∫[0,2] xe^(2x^2) dx
合成関数の積分公式を適用
g(x)=2x^2, g'(x)=4x, f(x)=e^x, F(x)=e^x
より
I=(1/4)∫[0,2] 4xe^(2x^2) dx=(1/4)∫[0,2] g'(x) f(g(x)) dx
=(1/4)[e^(2*2^2)-e^(2*0^2)]
=(e^8-1)/4 …(答)
(≒744.989496760432…)

答は間違ってます。

合成関数の積分公式を使えるようにしっかり覚えておきましょう。
上記回答では、置き換えの途中過程を詳しく書きましたが、「合成関数の積分公式を適用して」と書くだけで、いきなり
「=[F(x)][a,b]=F(b)-F(a)」のところから解答を書けば良いでしょう。
そうすれば、スマートな解答になります。