負数の累乗は？？？

質問

たとえば、-2の2乗は+4ですが、

-2の1.5乗はどうなりますか？

（-2）＾1.5＝（-2）＾（3/2）＝（-2）＾3/（-2）＾2＝（-8）/4＝-2でよいのでしょうか？

また、（-2）＾（√3）なんかはどうすればよいのでしょうか？

回答No.6

rabbit_cat · ベストアンサー

（負数を含めた)複素数の複素数乗の一般的な定義は、#4で書いたものです。

具体的に書けば、
(-2)^(3/2)＝±2√2i　（プラスマイナスの２個とも)
です。

(-2)^√3
は、絶対値が 2^√3 で、偏角が √3π(2n+1) の(nは任意の整数)、加算無限個の複素数全てです。

お礼

rabbit_cat さま、回答ありがとうございます。
一般的な累乗は偏角に対応するのですか、勉強になります。
つまり(-2)^√3の答えは無数に存在するという事なんですね・・・。

回答No.7

noname#195146

>-2の1.5乗はどうなりますか？
>（-2）＾1.5＝（-2）＾（3/2）＝（-2）＾3/（-2）＾2＝（-8）/4＝-2でよいのでしょうか？

　1.5乗ならなんとか、こうかも。

(-2)^(1.5)
=(-2)^(1+1/2)
={(-2)^1}×{(-2)^(1/2)}
=-(2√2)i　←iは虚数記号

　いやまてしばし。

(-2)^(1.5)
=(-2)^(3/2)
={(-2)^3}^(1/2)
=(-8)^(1/2)
=(√8)i　←iは虚数記号
=(2√2)i

　他にもごにょごにょいじってみても（1.5＝2-1/2とか）、±(2√2)iであるようです。

>また、（-2）＾（√3）なんかはどうすればよいのでしょうか？

　有理数乗なら「m乗のn乗根」と拡張していけるとは思いますが、さらに無理数となると、ちょっと大変です（意訳：私の手に負えません）。複素数に一挙に広げた場合を考えたほうがよいかもしれず、以下のページでは公式を「定義する」としてしまっています（一応、簡単な説明はあるけど……）。

http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/ouyoukaiseki/domoaburu0.html

お礼

lazydog1 さま、回答ありがとうございます。
リンク先を手がかりに勉強しなおします。
大変参考になりました。

回答No.5

bgm38489

ｘ^(３/２)が、ｘ＾３/ｘ＾２とはなりませんね。x^3*x^(1/2)です。
2^(3/2)=2*2^(1/2)=2√2ですね。
(-2)^(1.5)=(-2)^(3/2)=(-2)^1*(-2)^(1/2)
=-2√2i　となります。
i（普通は筆記体で書きますが）は虚数で、平方して-1となる数です。そんな数、現実には存在しないですが、物理的には存在します。√2iの平方は、－２。

(-2)^(√3)=(-2)^(3^(1/2))
これを、(-2)^3^(1/2)とできたらいいのですが、そうはいかない。3^(3^3)と3^3^3は違いますからね。
虚数単位では表しようがなく…これはどうにもならないと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
一つ目は解決しました。
累乗の母数がマイナスと言うのはそもそも定義されないのでしょうか？
なんとなくですが、出来る場合と出来ない場合があるから、
一般的な定義が出来ないということなのかなぁ～

回答No.4

rabbit_cat

負数も含めて一般に複素数zのa乗は、（zもaも複素数
z^a = exp(a*log(z))
と定義されています。

log(-2)=log2 + (2n+1)πi
より、
(-2)^1.5 = 2√2*exp((3n+3/2)πi) = ±2√2i
です。（2つの虚数になります）

√3乗なんかも、同様に計算できます。無限個の複素数になります。

お礼

ｌｏｇ（Ｚ）と書く場合、実数ならｚ＞0という条件がつきますが、複素数では不要ということですか？
(-2)^1.5 = 2√2*exp((3n+3/2)πi) = ±2√2iのところはまだ理解できません。
引き続き勉強します。

回答ありがとうございました。

回答No.3

asuncion

(-2)^1.5 = 2√2i
というのは、たぶん合っていると思います。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

ImprezaSTi

ちがいます。

乗数で1/2は、平方根になります。1/3は3乗根です。3乗すれば、元の数字になるもの。3√５は、3乗して5になる数値です。
ちなみにですが、(-2)^1.5は、確か虚数を含んだ数になります。　虚数はi で表現し、i^2=(-1)となるものです。

で、あとは、随分前に勉強しましたが、忘れましたので、自分で調べて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。

少し前進しましたが、、（-2）＾（√3）はいまだ？？？です。

調べても解らなかったから質問しています。

回答No.1

asuncion

少なくとも、
-2の1乗ではない1.5乗が
-2の1乗と同じになる、というのは
正しくないでしょう。

負数の実数乗は、実数の世界では求まりませんが、
複素数の世界では求まる（あるいは、求まることがある）ということ
ではないか、と思います。

お礼

回答ありがとうございます。
確かにそうです。勘違いしてました。
（-2）＾1.5≠-2ですね。

（-2）＾1.5＝（-2）＾（3/2）＝√（（-2）＾3）＝√（-8）となるので、
2√2ｉとなりますか？