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正八面体と球
写真の問題ですが、解説を見てもよくわからないところがあります。 V1/2=1/3*4*√2 の式がどこから出てきたか r=がなぜ 1*cosθになるのか 簡略化されている V2=4/3π*2√2/3√3 以降の計算の詳細 などです。 どなたか詳しく教えてください。
- kamosika89
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＞V1/2=1/3*4*√2 の式がどこから出てきたか 「正八面体の体積の半分」です。つまり「四角すいの公式」です。 辺の長さ１の正八面体を、２つの四角すいが出来るように真っ二つに切ったら、その四角すいは「底面積が４、高さが√２」です。 なので、四角すい１つ分の体積は「（１／３）×４×√２」です。 この式は（V1/2は）「1/3*4*√2」です。 ＞r=がなぜ 1*cosθになるのか これの意味は「rは、図の直角三角形の底辺だから」って意味しかありません。 そして、ｒが底辺になっている直角三角形は、斜辺と高さが判っています。 三平方の定理「底辺の２乗＋高さの２乗＝斜辺の２乗」から「底辺は、√（斜辺の２乗－高さの２乗）ですよ、計算したら√（２／３）ですね」って言っているだけです。 そして、辺が２の正八面体の体積は「√２÷３×２の３乗」で、半径が√（２／３）の球の体積は「４÷３×π×（√（２／３））の３乗」です。 V1＝√２÷３×２の３乗 ＝√２÷３×８ V2＝４÷３×π×（√（２／３））の３乗 ＝４÷３×π×（２／３）×√（２／３） ＝４÷３×π×２÷３×√（２／３） ＝８÷９×π×√（２／３） V2／V1＝（８÷９×π×√（２／３））／（√２÷３×８） ＝（π×√（２／３）×８÷９）／（√２÷３×８） ＝（π×√（２／３）÷９）／（√２÷３） ＝（π×√（２／３）÷３）／√２ ＝（π×√２÷√３÷３）／√２ ＝π÷√３÷３ ＝π÷√３／３ ＝π÷√３×√３／３√３ ＝π÷√３×√３×√３／（３√３×√３） ＝π×√３／（３√３×√３） ＝π×√３／（３×３） ＝π×√３／９ ＝√３／９π
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- info222_
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画像の図中の文字（特に下付き添字）が小さく潰れて不鮮明なのでよく見えません。 確認を兼ねて、正八面体の体積をVo、内接球の半径をr、体積をV1とすると >V1/2=1/3*4*√2 の式がどこから出てきたか この式の左辺のV1はVoの間違いのようです。 正：Vo/2=(1/3)*4*√2 …(※) 左辺は、正八面体の体積Voの1/2ですね。 つまり Vo/2 は正八面体の上半分の正四角錐の体積に等しいですね。 正四角錐の底面は正八面体の一辺の長さ(=2)に等しい辺の正方形になり その底面の面積は 2×2 = 4 となります。正四角錐の高さは√2なので 正四角錐の体積Vo/2は Vo/2=(1/3)*(底面積)*(高さ)=(1/3)*4*√2 これは(※)の式に一致します。 お分かりになりましたか？ したがって、正八面体の体積Voは、 (※)の正四角錐の体積Vo/2の２倍になるので Vo=(8/3)√2 … (＊) となります。 （＊）の式の左辺のVの添字は「o」です。「1」ではないことに注意してください。 >r=がなぜ 1*cosθになるのか 問題の図の左下の三角形と半円の図で 相似形の直角三角形の辺の比１：√2：√3 と対応する頂角θ=δの関係から r/1=cosθ=cosδ=√2/√3 前半から r=1*cosθ=cosθ お分かりになりました？ 後半から cosθ=cosδ=√(2/3) したがって r=√(2/3) … (◆) となります。 >簡略化されている V2=4/3π*2√2/3√3 以降の計算の詳細 左辺のV2は内接球の体積V1ですから、Vの添字を1に置き換えます。 V1=(4/3)πr^3 ← （◆）の r を代入 =(4/3)π*(√(2/3))^3 =(4/3)π*(2√2)/(3√3) （＊）の式のVoを作るため計算の順序を変えて V1=(8/3)√2*π(1/(3√3)) (8/3)√2 をVoで置き換えると V1=Vo*π(１/(3√3)) =Vo(√3/9)π 両辺をVoで割って ∴V1/Vo=(√3/9)π …(答) 図の(答)の左辺の式「V2/V1」は間違いで、正しい式は「V1/Vo」です。 Vの添字が良く見えないので、回答のようにV1とVoに 統一して、良く読みなおして見てください。 きっとお分かりになると思います。
- yyssaa
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＞図はよく見えないので、取り敢えず解法を回答します。 正八面体の1辺の長さを1とすると、正八面体を2個の四角錐に分けたときの 四角錐の底面は1辺の長さが1の正方形で、四角錐の高さhは(√2/2)^2+h^2=1 からh=1/√2。よって正八面体の体積V1はV1=1*1*(1/√2)*(1/3)*2=√2/3 この四角錐を横からみると底辺が1で高さが1/√2の二等辺三角形に見え、 内接球は等辺に内接した半円に見える。従って内接球の半径rは、この 二等辺三角形の底辺の中点から等辺に下ろした垂線の長さとなり、r=1/√6 となるので、内接球の体積V2はV2=4π(1/√6)^3/3=2π/9√6 V2/V1=(2π/9√6)/(√2/3)=√3π/9
- ybnormal
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小さすぎてよく見えないが... 図の左下にある小さいほうの直角三角形を見ればCosΘ=r/1であることはわかります。 V1/2は正八面体の上半分の正四角錐の体積。底面は一辺２の正方形で底面積は2x2=4。四角錐の高さは断面積の高さだから図に書かれている通り√2。四角すいの体積は1/3*高さ*底面積だから、V1/2は1/3*4*√2。
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