• 締切済み

Z=f(x,y) x=rcosθ y=rsinθで

∂^2 Z/∂x^2+∂^2 Z/∂y^2を求めよという問題で ∂/∂x = cosθ ∂/∂r ‐ sinθ/r ∂/∂θ ∂/∂y = sinθ ∂/∂r + cosθ/r ∂/∂θ と計算していき ∂^2 Z/∂x^2 = (∂/∂x)(∂/∂x)Z = cos^2 θ ∂^2 Z/∂r^2 - cosθ ∂/∂r[sinθ/r Z/∂θ] - sinθ/r ∂/∂θ[cosθ ∂Z/∂r] + sinθ/r ∂/∂θ[sinθ/r ∂Z/∂θ] まできて、同様に∂^2 Z/∂y^2も計算して足したのですが答えが ∂^2 Z/∂x^2+∂^2 Z/∂y^2=∂^2 Z/∂r^2-2/r ∂Z/∂r+1/r^2 ∂^2Z/∂θ^2となり解答とあいません わかる方解説お願いします。

みんなの回答

回答No.3

2次元極座標のラプラシアンの計算ですよね！ 昔各種座標系のラプラシアンの導出をやらされました。 式の変形ですけど、おかしいですね。 形式的に式変形したら第2項の係数は 1 になりました。 /∂x^2側からは　cos^2θが /∂y^2側からは sin^2θが 係数で出てくるので足して1になります。 -2なんてどこから出てきたのでしょうか？ なんとなく2重に書いてしまった項とかが有りそうです。

  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.2

>∂^2 Z/∂x^2 >= (∂/∂x)(∂/∂x)Z >= cos^2 θ ∂^2 Z/∂r^2 - cosθ ∂/∂r[sinθ/r Z/∂θ] - sinθ/r ∂/∂θ[cosθ ∂Z/∂r] + sinθ/r ∂/∂θ[sinθ/r ∂Z/∂θ] ここまではよさそう。 ここからの展開で間違っている可能性大。 質問者のだした最後の式で間違っているのは∂Z/∂rの項だけである。この部分だけについて見てみる。 ∂Z/∂rの項がでてくるのは上式の第3項からになるが、 -(sinθ/r)∂/∂θ[cosθ∂Z/∂r]=(sinθ)^2/r*∂Z/∂r-sinθcosθ/r*∂^2Z/∂r∂θ となり、ここから出てくる∂Z/∂rの係数は(sinθ)^2/rとなります。 同様に∂^2Z/∂y^2から出てくる∂Z/∂rの係数は(cosθ)^2/rとなりこれを足すと1/rとなります。

  • IveQA
  • ベストアンサー率43% (16/37)
回答No.1

2次元のラプラシアンを極座標にするんだね。 >= cos^2 θ ∂^2 Z/∂r^2 - cosθ ∂/∂r[sinθ/r Z/∂θ] - sinθ/r ∂/∂θ[cosθ ∂Z/∂r] + sinθ/r ∂/∂θ[sinθ/r ∂Z/∂θ] ここまではOK 最後で∂Z/∂rの係数だけ違うから 途中計算の∂Z/∂rの部分を見る。 ∂^2 Z/∂x^2の∂Z/∂rの係数は(sinθ)^2/r ∂^2 Z/∂y^2の∂Z/∂rの係数は(cosθ)^2/r となるはず。 計算ミスを見つけて欲しいなら途中計算も書かないと！

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