電力とジュール熱の関係式において

質問

mct=Qより

t= [(R+r)^2/R ] mcT/V^2 [second]

という式が導かれました。

そしてこの式を使ったもう一問のほうに躓いてます。

得られた式においてVが一定だった場合、すい御中の温度をもっとも短時間で上昇させるためには抵抗線のRはどんな値でなくてはならないか？

という問題です。

V一定だから　　mcT/V^2の部分が定数だと考えてしまい肝心なのが

[(R+r)^2/R ]
を考えることでそしてRが分母についていることからこれが小さい値になればなるほど効率がよろしいということまでは理解できるのですが解説を見てわからなくなりました。

なのでこの
[(R+r)^2/R ]を考えるときにZとおいて

Z= (R+r)^2/R = (√R + r/√R)^2 = (√R-r/√R)^2 -4r

と考えられる。

と書いてありました。

なぜいきなり

(√R + r/√R)^2に書き換えられて

(√R-r/√R)^2 -4rにまたまたいきなり書き換えられるのでしょうか。

確かに展開すれば

R^2+2Rr+r^2 /R　と同じ答えになりますがどんなテクニックを使ってこうして変換しているのでしょうか。

考え方と計算方法ご指導お願い申し上げます。

聞いていることが数学の範囲なのは百も承知ですが物理の範囲でしたので物理カテゴリで質問いたしました。

ご迷惑おかけしますがご教授お願い申し上げます。

回答No.2

noel_lapin · ベストアンサー

(　R　+　r　)^2
---------
　　　R

　　( R + r )^2　
=　---------
　　　(√R)^2

　　┌　　　R　　　　　　r　　　┐^2
=　│　 -----　+　-----　│　　
　　└　　　√R　　　√R　　　┘

=　(　√R　+　r/√R　)^2

お礼

入力が大変だったと思います。
大変見やすくわかりやすい解説をありがとうございました。
今後ともよろしくお願い申し上げます。
早速ノートに取ろうと思います。

回答No.3

htms42

数学（たぶん数I）で「相加平均、相乗平均」というのが出てきたと思います。
ａ＋ｂ≧２√(ａｂ)　　　（式１）
これを使うと
Ｒ＋ｒ^2／Ｒ≧２√(Ｒ・ｒ^2／Ｒ)＝２ｒ

式１は次のような式変形で導くことができます。
ａ^2＋ｂ^2＝(ａ－ｂ)^2＋２ａｂ≧２ａｂ

この変形を回答の中でやっています。

ｙ＝ｘ＋ａ／ｘ
の最小値を求める問題は数学ではよく出てきていると思います。
式だけではなくてグラフを書いてイメージをとるのもやっておくといいでしょう。
双曲線と直線の足し算をするとグラフを書くことができます。最小値が出てくることがわかります。

お礼

相加平均・相乗平均で検索してみます。

定義をお教えくださりありがとうございます。
おかげさまで大変助かりました。
今後とも無知で恥ずかしい質問をしてしまいますがご指導お願い申し上げます。

回答No.1

noel_lapin

(　R　+　r　)^2　　　( R + r )^2　　　┌　　　R　　　　　　r　　　┐^2
---------　　=　---------　=　│　 -----　+　-----　│　　　=　(　√R　+　r/√R　)^2
　　　R　　　　　　　　　(√R)^2　　　　└　　　√R　　　√R　　┘

= (√R)^2 + 2*(√R)*(r/√R) + ( r/√R )^2
= R + 2r + (r^2)/R
= R - 2r + (r^2)/R + 4r
=( √R - r/√R )^2 + 4r

お礼

式の変形の一つ一つを解説してくださりありがとうございます。
大変助かりました。