- ベストアンサー
２重対数関数について質問です
複素解析を勉強していると、べき級数の収束のコラムに ２重対数関数(以下、記号:Li_2(x)と記す)についての記述がありました。 Li_2(x)には様々な性質があるようなのですが、以下の式変形がよく分かりません。 まず、Li_2(x)=-∫[0,x](log(1-t)/t)dt (xは実数) と定義されているのですが、画像に書かれている変形がどのようにして行われたのか 解説宜しくお願いします。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
参照 URL を丸投げ。
お礼
URLまでご親切にありがとうございます。参考にさせていただきます。
関連するQ&A
- e^ix、cos(ｘ)、sin(ｘ)の実解析関数の証明
オイラーの公式｛e^ix＝cos(x)＋ｉsin(x)｝を証明するため以下が必要であることが分かりました。 しかしながら以下のうち、(3)の実解析関数とはどういうものでどういう定義なのか、そしてe^ix、cos(ｘ)、sin(ｘ)が実解析関数であることを証明する手順について、ご存知の方がいらっしゃたらご教示いただきたくお願いします。 (1)べき級数は収束半径内で絶対収束する (2)絶対収束級数は項の順番を入れ替えても収束値は変わらない (3)e^x，cos(x)，sin(x)は実解析関数である
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素正方行列の対数
複素正方行列の指数関数は、実数域でのマクローリン展開を単純に拡張して xが実数のとき、 exp(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + ... より、Aが複素正方行列のとき （Eは単位行列） exp(A) = E + A + A^2/2 + A^3/6 + A^4/24 + ... と、できることがわかりました。 一方、対数関数に関しても同様に、 xが実数のとき、 log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6 + ... より、Aが複素正方行列のとき （Eは単位行列） log(E+A) = E - A^2/2 + A^3/3 - A^4/4 + A^5/5 - A^6/6 + ... で、単純に可能かと思ったのですが違いました。 例えば、具体的に、実数正方行列 { 2, 3 } { 4, 5 } の対数は、 { -0.304+2.195i, 1.302-1.248i } { 1.736-1.664i, 0.997+0.947i } となりますが、前記のように単純にマクローリン展開を拡張した方法では、 実数係数の行列から複素係数が出てくることはありえないことからも、 簡単に間違っていることがわかります。 ということで、複素正方行列のマクローリン展開の方法または、 具体的な計算方法（アルゴリズム）をご存知の方がおられましたら ご教示ください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 対数を定積分で定義したときの積の分解について
正の実数xについて、log x を∫[1→x] 1/t dt と定義する。 （ただし0<x<1 のときには ∫[1→x] 1/t dt = -∫[x→1] 1/t dt を意味する。） このときx,y>0に対して log(xy) = log(x)+ log(y) が成立することを示せ。 左辺を変形して変数変換など試したのですがどうもうまくいきません。どなたかご教授お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 超関数の定義はこれでいいの？
岩波「Ｆｏｕｒｉｅｒ－Ｌａｐｌａｃｅ解析」木村英紀著を参考に超関数の定義を以下のようにまとめてみました なおψは無限回微分可能な急減少関数でＥは実数の部分集合でＦはフーリエ変換演算子です 超関数の定義： ｛ｆｎ｝を関数列としたとき数列｛∫ｄｔ・ｆｎ（ｔ）・ψ（ｔ）｝が任意のψについて収束するならば｛ｆｎ｝を超関数と呼ぶ 超関数の等号： 超関数｛ｆｎ｝と超関数｛ｇｎ｝について ｛∫ｄｔ・（ｆｎ（ｔ）－ｇｎ（ｔ））・ψ（ｔ）｝が任意のψについて０に収束するならば｛ｆｎ｝＝｛ｇｎ｝と書く 超関数の微分： 超関数｛ｆｎ｝と超関数｛ｇｎ｝について ｛∫ｄｔ・（ｆｎ（ｔ）・ψ’（ｔ）＋ｇｎ（ｔ）・ψ（ｔ））｝が任意のψについて０に収束するならば｛ｆｎ｝’＝｛ｇｎ｝と書く 超関数の積分： 超関数｛ｆｎ｝について ｛∫（ｔ∈Ｅ）ｄｔ・ｆｎ（ｔ）｝が収束するとき ∫（ｔ∈Ｅ）ｄｔ・｛ｆｎ｝（ｔ）＝｛∫（ｔ∈Ｅ）ｄｔ・ｆｎ（ｔ）｝と書く 超関数の積： 超関数｛ｆｎ｝と超関数｛ｇｎ｝について ｛∫ｄｔ・ｆｎ（ｔ）・ｇｎ（ｔ）・ψ（ｔ）｝が任意のψについて収束するならば ｛ｆｎ｝・｛ｇｎ｝＝｛ｆｎ・ｇｎ｝と書く 超関数のフーリエ変換： 超関数｛ｆｎ｝と超関数｛ｇｎ｝について ｛∫ｄｔ・（ｆｎ（ｔ）・（Ｆψ）（ｔ）－ｇｎ（ｔ）・ψ（ｔ））｝が任意のψについて０に収束するならばＦ｛ｆｎ｝＝｛ｇｎ｝と書く 質問： （１）超関数として、上の定義の不適当な点を指摘してください （２）δ＾２が意味を持つ超関数の定義はあるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数の積分の定理の証明です。
複素関数の積分の定理の証明です。 ?∫(a→b)ξ(t)dt?≦∫(a→b)?ξ(t)?dt の証明で、私の本には、以下の通りでした。 ∫(a→b)ξ(t)dt =?∫(a→b)ξ(t)dt?(eのiθ乗)とおける。この両辺に(eの-iθ乗)をかける。 また、ξ(t)=?ξ(t)?(eのiφ乗)とおくと、 ?∫(a→b)ξ(t)dt?=(eの-iθ乗)∫(a→b)ξ(t)dt=∫(a→b)｛eのi(φ-θ)乗｝?ξ(t)?dt となる。とありました。 私は、ここまでは、納得できるのですが、次は、 eのi(φ-θ)乗=cos(φ-θ)+isin(φ-θ)と変形し、実数条件のため、isin(φ-θ)=0とし、 ?∫(a→b)ξ(t)dt?=∫(a→b)cos(φ-θ)?ξ(t)?dt ≦ ∫(a→b)?ξ(t)?dt となっております。 実数条件で正弦が０なら、複素数の範囲でも、余弦は、1 or -1にしかならないかと。また、絶対値ですから、実数といっても、負ではないので、余弦は、1にしかならないのではないかと思えるんですね。そうすると、?∫(a→b)ξ(t)dt?＝∫(a→b)?ξ(t)?dt ではないかと。 私の考えのどこがまちがっているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 実関数のローラン展開
変な質問で申しわけないのですが、実関数のローラン展開は考えられないのでしょうか？ たとえば、 f(x) = 1/(1-x^2) は|x|<1 では収束するわけですが、複素関数に倣って、特異点 x = 1 の±ε（εは微小な正数）近傍の級数展開を考えるのは無意味なのかということです。 f(x-ε) は大きな正数、f(x+ε)は大きな負数になってしまうので、級数で近似値を求める観点から考えても、無意味なような気はしますけど。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
お返事遅れました！解決しました。単純計算でよろしいのですね。ご丁寧にありがとうございました。