複素関数の積分の定理の証明です。
?∫(a→b)ξ(t)dt?≦∫(a→b)?ξ(t)?dt の証明で、私の本には、以下の通りでした。
∫(a→b)ξ(t)dt =?∫(a→b)ξ(t)dt?(eのiθ乗)とおける。この両辺に(eの-iθ乗)をかける。
また、ξ(t)=?ξ(t)?(eのiφ乗)とおくと、
?∫(a→b)ξ(t)dt?=(eの-iθ乗)∫(a→b)ξ(t)dt=∫(a→b)｛eのi(φ-θ)乗｝?ξ(t)?dt となる。とありました。
私は、ここまでは、納得できるのですが、次は、
eのi(φ-θ)乗=cos(φ-θ)+isin(φ-θ)と変形し、実数条件のため、isin(φ-θ)=0とし、
?∫(a→b)ξ(t)dt?=∫(a→b)cos(φ-θ)?ξ(t)?dt ≦ ∫(a→b)?ξ(t)?dt となっております。
実数条件で正弦が０なら、複素数の範囲でも、余弦は、1 or -1にしかならないかと。また、絶対値ですから、実数といっても、負ではないので、余弦は、1にしかならないのではないかと思えるんですね。そうすると、?∫(a→b)ξ(t)dt?＝∫(a→b)?ξ(t)?dt ではないかと。
私の考えのどこがまちがっているのでしょうか？
投稿日時 - 2010-09-01 14:54:35
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ベストアンサー以外の回答（1件中 1～1件目)
「実数条件のため、isin(φ-θ)=0」が間違っています。正しくは
「実数条件のため、i∫_{a～b}sin(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt=0」です
∫_{a～b}ξ(t)dt=|∫_{a～b}ξ(t)dt|(e^{iθ})とおける
ξ(t)=|ξ(t)|(e^{iφ(t)})とおくと
|∫_{a～b}ξ(t)dt|
=(e^{-iθ})∫_{a～b}ξ(t)dt
=∫_{a～b}{e^{i(φ(t)-θ)}}|ξ(t)|dt
e^{i(φ(t)-θ)}=cos(φ(t)-θ)+icos(φ(t)-θ) だから
|∫_{a～b}ξ(t)dt|
=∫_{a～b}cos(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt+i∫_{a～b}sin(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt
|∫_{a～b}ξ(t)dt|は実数だから
∫_{a～b}sin(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt=0 だから
|∫_{a～b}ξ(t)dt|=∫_{a～b}cos(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt≦∫_{a～b}|ξ(t)|dt
投稿日時 - 2010-09-03 03:32:05
お礼
回答ありがとうございました。
納得できましたが、
私が間違っているのではなく、本が間違っていたんですね。
「実数条件のため、isin(φ-θ)=0」は、本の解説にあったんです。そのくせ、「|cos(φ-θ)≦|」とあったので、複素数の範囲ではsinz=0 |cosz|≠1があり得たっけ？となり、
しかし、どう考えたって、あり得ない。本は第３版だから、自分が気づくような間違いはないだろうと考え、本の間違いを探すという発想が浮かびませんでした。浮かんでも、間違えを見つけられなかったと思いますが。
投稿日時 - 2010-09-03 14:28:47
