数学１三角関数

質問

円に内接する四角形abcdはab=bc=√3 cd=1 <adc=120°

Q四角形abcdの内接円の半径

を求める問題なんですが、
わかりません。教えて下さい！

回答No.4

yyssaa

＞∠adcの対角∠abc=180-120=60°
ab=bc=√3だから∠bac=∠bca=(180°-∠abc)/2=60°
よって△abcは正三角形であり、ac=√3。
△acdに余弦定理を適用して、
ac^2=ad^2+cd^2-2*ad*cd*cos120°から
(√3)^2=ad^2+(1)^2-2*ad*(1)*(-1/2)、adで整理して
ad^2+ad-2=0、(ad+2)(ad-1)=0からad=1
よって△acdは二等辺三角形となり
∠dac=∠dca=(180°-∠adc)/2=30°
四角形abcdの面積=△acdの面積+△abcの面積
=(1/2)*ad*ac*sin∠dac+(1/2)*ab*bc*sin∠abc
=(1/2)*1*√3*sin30°+(1/2)*√3*√3*sin60°
=(1/2)*1*√3*(1/2)+(1/2)*√3*√3*(√3/2)
=√3
四角形abcdの内接円の半径をrとすると、この内接円
の中心と各頂点abcdとを結んで出来る四つの三角形は、
四角形abcdの各辺を底辺とし高さがrの三角形になる
ので、
四つの三角形の面積の合計=(1/2)*r*(ab+bc+cd+da)
=(1/2)*r*(√3+√3+1+1)=(√3+1)r/2
これは四角形abcdの面積と等しいので、
(√3+1)r/2=√3、これを解いて
r=2√3/(√3+1)={2√3(√3-1)}/{(√3+1)(√3-1)}
=(2*3-2√3)/(3-1)=3-√3・・・答