岩石の年齢を推定する問題です。

質問

ある岩石の年齢を以下の方法で推定する。この岩石ができたときには鉛は含まれておらず,現在含まれている鉛は全てウランの崩壊によるものと仮定する。ウラン(238)(92)Uの半減期T=45[億年]である。現在この岩石には重量比で6.0×10^(-2)%のウラン(238)(92)Uと,1.3×10^(-2)%の鉛(205)(82)Pbが含まれている。これらのウランと鉛の重量比から両者の原子核数の比を求めることにより、

この岩石の年齢は何億年と推定されるか。
必要であれば,log(10)2=0.301、log (10)3=0.477、log(10)5=0.699を用いよ。

わかる方、教えていただきたいです。お願い致しますm(__)m

回答No.1

Tann3 · ベストアンサー

あの～、他の質問も見る限り、元素の崩壊（壊変）について全く理解ができていないのではないかと思います。
　「問題」の回答以前に、まずはしっかりと理解できるよう試みるのが先決かと思います。

↓たとえばこんなビジュアルなサイトで。
http://irobutsu.a.la9.jp/movingtext/hangenki/hangenki.html

　問題の場合、時間を追って出来事を記述すると、次のようになります。

・岩石ができた時には　ウランが100%で鉛はなかった。
　　　　　↓
・半減期の45億年経つと、ウランの崩壊によって、ウラン原子核の50%は鉛原子核に変わり、ウラン原子核は50%に減る。
　　　　　↓
・半減期の倍の90億年経つと、さらにウランの崩壊によって、ウラン原子核の75%は鉛原子核に変わり、ウラン原子核は25%に減る。（半分の半分になる）
　　　　　↓
・　　　・・・・・・

という流れの中で、

・重量比で6.0×10^(-2)%のウランと、1.3×10^(-2)%の鉛が含まれるのは、岩石ができてから何年後か。

ということを問うているわけです。

　答えを求めるには、ウランと鉛の「重量比」を「原子核の数の比」に換算しないといけません。原子核の崩壊は、原子核の数の変化だからです。ここがこの問題のキーポイントでしょうか。

　重量比を原子核の数の比にするには、ウランの質量数238と、鉛の質量数205を使います。重量比を、各々この質量数で割ってやれば、原子核の数の比になります。

　残っているウランの原子核数比率は（めんどうなので共通の10^(-2)は約分して）
　　　(6.0/238) / [ (6.0/238) + (1.3/205) ] ＝　0.7990012・・・≒　0.80
となります。つまり、ウランの原子核の数の20%が崩壊によって鉛に変わり、80%がウランのまま残っているということです。

　ウランの原子核の数の減り方は、以前のご質問の回答にあるように、時間 t と半減期 T を年の単位にして、
　　Ｎ(t) = N0 × exp(-0.693t/T)
と表されます。この式の導き方は↓参照（ここでは省略）。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%B8%9B%E6%9C%9F

　ウランの原子核の数が、最初の0.80ですから、

　　Ｎ(t) = N0 × exp(-0.693t/T)　＝　0.80 N0

となる ｔ を求めればよいのです。半減期はT=4.5 × 10^9 （45億年）を使います。

　　-0.693t/(4.5 × 10^9) = Log(e)0.80

-0.693は、もともと Log(e) 2 ということですから、

　　t = -4.5 × 10^9 × Log(e)0.80 / Log(e)2
　　 = -4.5 × 10^9 × log(10)0.8 / log(10)2

　ここで、log(10)0.8 = log(10)(8*0.1) = log(10)8 - 1 = 3 log(10)2 -1 と書けるので、
　　log(10)2＝0.301
を代入して、

　　t = -4.5 × 10^9 × (0.301 * 3 -1) / 0.301
　　 = 1.45 × 10^9

つまり、約14.5億年ということです。

　半減期45億年で半分になる訳ですから、20%減るのは14.5億年、というのは、妥当な結果なので、おそらく計算間違いはしていないと思います。
　念のため、検算の意味で、半減期の約１／３の時間経過後の原子核数を計算すると、元の原子核数の0.79ぐらいになりますので、答えはほぼ合っていると思います。
　log (10)3、log(10)5の値は使うところがないので、ちょっと不安になってしまいますが。

お礼

ご丁寧な解説ありがとうございましたm(__)m 実際のところよくわかっていませんでした。先ずは元素の崩壊についてサイトで勉強いたします。ほんとうに助かりました。