数学の問題がわかりません。

質問

座標平面上を動く2点P,Qがあり、時刻t(0<t<1)における座標はそれぞれ(t ,f(t)エフカッコティ-)、(1 ,g(t)ジ-カッコティ-)である。これら2動点の速さは等しく、動点Pの速度ベクトルはつねに(→[ベクトル]PQ)に平行である。ただし、f(t)(エフカッコティ-)、g(t)(ジ-カッコティ-)は微分可能で、g'(t)>0、f(0)(エフカッコゼロ)=f'(0
)=0とする。

(1) f''(t)をtとf'(t)で表せ。
(2) p=f'(t)とおき、z=(1-t)(p+√(1+(p)^2))としたとき、dz/dtを求めよ。
(3) f(t)を求めよ。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
→OP=(t,f(t), →OQ=(1,g(t))
→PQ=(1-t,g(t)-f(t))

√(1+(f'(t))^2)=|g'(t)| ...(A)

f'(t)/1=(g(t)-f(t))/(1-t) より
　(1-t)f'(t)=g(t)-f(t) ...(B)
　g'(t)=-tf''(t) ...(C)

(A),(C)より
　1+(f'(t))^2=(tf''(t))^2
　f''(t)=±(1/t)√(1+(f'(t))^2) ...(答え)

(2)
p=f'(t)
z=(1-t)(p+√(1+(p)^2))
dz/dt=-(p+√(1+(p)^2))+(1-t)d(p+√(1+(p)^2))/dp・dp/dt
　=-(p+√(1+(p)^2))+(1-t)(1+p/√(1+(p)^2))f''(t)
　=-(p+√(1+(p)^2))+(1-t)(p+√(1+(p)^2))f''(t)/√(1+(p)^2)
　=(p+√(1+(p)^2)){-1+(1-t)f''(t)/√(1+(p)^2)}
　=(p+√(1+(p)^2)){(1-t)f''(t)-√(1+(p)^2)}/√(1+(p)^2)}
　=(f'(t)+√(1+(f'(t))^2)){(1-t)f''(t)-√(1+(f'(p))^2)}/√(1+(f'(t))^2) ...(答え)
(1)の結果を使えば
　√(1+(f'(t))^2)=±tf''(t)
dz/dt=(f'(t)±tf''(t)){(1-t)f''(t)±(-t)f''(t)}/{±tf''(t)}
　　=±(f'(t)±tf''(t)){(1-t)f''(t)±(-t)f''(t)}/{tf''(t)} (複号同順) ...(答え)
　　=(f'(t)+tf''(t))(1-2t)f''(t)/{tf''(t)}（+の符号の場合）...(答え)
　　=f''(t)-f'(t)/t （-の符号の場合） ...(答え)

(3)パス

お礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございましたm(__)m

回答No.1

yotsuba_k

問一がわからない時点でどうにもなりません。教科書を読みましょう。