数学の問題です。

質問

これを解いてください。お願いします。
時刻ｔにおける座標がｘ=2sint+cost,y=sin2t
で表されるｘｙ平面上の点Pを考える。０≦ｔ＜2πにおいてPが二回以上通過する点が唯一つ存在することを示せ。

微分することは、わかっているのですがどうも計算がうまくいきません。

回答No.3

noname#129827

"微分方程式"という概念を利用すれば簡単に求められるかもしれない。
Pが2回以上通過する点が唯一つ存在することを示すには、以下の命題を示す必要がある。

prop: 集合AをA=[0,π/2-α)∪[π-2α,3π/2-α)とし
　　　以下の関数を定義する

　　　　　　　　　　　　F(Θ)＝sin2Θ1-sin2(π-Θ1-2α)　(Θ∈[0,π/2-α)のとき)

　　　　　　　　　　　　F(Θ)＝sin2Θ1-sin2(3π-Θ1-2α)　(Θ∈[π-2α,3π/2-α)のとき)

このときΘ∈Aに対してF(Θ)=0なるΘがただ一つ存在する
ただしαはｘ=2sint+cost=√5sin(t＋α)を満たすαとして0<α<π/6である

命題の証明：　
　　 Θについて場合分けして考える
ここでsin(π-Θ-α)=sin(Θ＋α),sin(Θ＋α)=sin(3π-Θ-α) が成り立つことを利用して

1) 0≦Θ＜π/2-αのとき
　　Θ1＋α＝π-Θ-αとおく

sin2Θ-sin2Θ1=sin2Θ-sin2(π-Θ-2α)=F(Θ) (0≦Θ<π/2-α)
とおいて
F(Θ)=0なるΘ∈[0,π/2-α)が唯一つ存在するかどうかを考える
実は面白いことにこれは微分方程式を利用すると
F(Θ)=-4F''(Θ)
が成り立つので
F(Θ)=k1sin(2Θ＋k2) (k1,k2は定数)と分かる。
微分方程式の解の一意性定理から
F(π/2-α)=0からk2=2α　　
またF(0)=-sin(2π-4α)>0 からk1>0であることが分かる。
つまりF(Θ1)=k1sin2(Θ1＋α)　(k1>0)と書ける。
0≦Θ＜π/2-αではF(Θ1)>0であることが分かる。つまり
このときF(Θ)=0なるΘは存在しない

2)π-2α≦Θ＜3π/2-αのとき
Θ2＋α=3π-Θ-α とおく

sin2Θ-sin2Θ2=sin2Θ-sin2(3π-Θ-2α)=F(Θ) (π-2α≦Θ<3π/2-α)
とおいて
先ほどと同様にして
F(Θ)=k3sin(2Θ＋k4)とおいて定数k3,k4を決定すると
F(3π/2-α)=0,F(π-2α)=sin(2π-4α)<0より
F(Θ)=k3sin2(Θ＋α)と書ける。 (k3<0)
π-2α≦Θ＜3π/2-αより
2π-2α≦2(Θ＋α)＜3π　から　sin2(Θ＋α)=0なる2(Θ＋α)は2πのみである。
すなわちΘ=π-α　のときのみF(Θ)=0なる

以上からF(Θ)=0なるΘ∈AはΘ=π-αのみであるので命題は示された。

回答No.2

WiredLogic

微分は要らない、というか、この問題の場合、役に立たないようです。

やり方ですが、別々のtの値に対するxが同じ値になる場合を求め、
その中で、yの値どうしが同じ値になる場合を求めます。
これが、別のtの値に対して、P(x,y)が同じ場所にくる点になります。

まずは、x の中身を合成して…
x = 2sint + cost = (√5)sin(t+α)
ただし、sinα = 1/√5, cosα = 2/√5
ここで、0＜sinα＜cosα＜1 ですから、
0＜α＜π/4 と考えて構いません。

t-x 平面における、x = (√5)sin(t+a) のグラフは、
x = (√5)sint のグラフを、左にα(0＜α＜π/4) だけ
平行移動したグラフです。

このグラフで、同じxの値になる、別々のtの値を探す訳ですが、
このグラフの
0≦t≦π-2α の範囲は、t = π/2-α について、対称で、x≧1、
π-2α＜t＜2π の範囲は、t = 3π/2-α について、対称で、x＜1、
なので、異なるtの値に対して、xが同じ値をとるのは、
0＜θ≦π-2α なるθに対し、
t = π/2 - α - θ、t = π/2 - α + θ、であるときと、
0＜θ＜π/2 + α (= 2π - (3π/2 - α)) なるθに対し、
t = 3π/2 - α - θ、t = 3π/2 - α + θ、であるとき、
のどちらかになります。

0＜θ≦π/2-α＜π/2 なるθに対し、
t = π/2 - α - θ、t = π/2 - α + θ、であるとき、
y = sin(2(π/2 - α - θ)) = sin(π - 2α - 2θ) = sin(2(α+θ))
y = sin(2(π/2 - α + θ)) = sin(π - 2α + 2θ) = sin(2(α-θ))
なので、sin(2(α+θ)) = sin(2(α-θ)) となるθがあれば、
xもyも異なるtの値に対し、それぞれが同じ値をとることになります。
sin2α*cos2θ+cos2α*sins2θ = sin2α*cos2θ-cos2α*sin2θ より、
2cos2α*sin2θ = 0
cos2α = 2(cosα)^2 - 1 = 3/5 ≠ 0 なので、
sin2θ = 0 となれば、題意を満たすことになりますが、
0＜θ≦π/2-α＜π/2 より、0＜2θ≦π-2α＜π なので、
sin2θ = 0 を満たすθは存在しません。

0＜θ＜π/2 + α なるθに対し、
t = 3π/2 - α - θ、t = 3π/2 - α + θ、であるとき、
y = sin(2(3π/2 - α - θ)) = sin(3π - 2α - 2θ) = sin(2(α+θ))
y = sin(2(3π/2 - α + θ)) = sin(3π - 2α + 2θ) = sin(2(α-θ))
なので、さっきの場合同様、sin(2(α+θ)) = sin(2(α-θ)) となるθがあれば、
xもyも異なるtの値に対し、それぞれが同じ値をとることになり、
sin2θ = 0 となれば、題意を満たします。
0＜θ≦π/2+α より、0＜2θ≦π+2α、かつ、π＜π+2αなので、
θ = π/2 のときのみ、題意を満たすことになります。

したがって、題意を満たすtの組は、ただ一つだけ存在し、
そのtの組は、(3π/2 - α - θ, 3π/2 - α + θ)
= (3π/2 - α - π/2, 3π/2 - α + π/2)
= (π - α, 2π - α) で、
そのときのPの座標は、
(x,y) = ((√5)*sin(t+α), sin(2t))
= ((√5)*sin(π-α+α), sin(2(π-α))
= ((√5)*sin(π), sin(2α))
= (0, 2*sinα*cosα) = (0, 2/5) となります。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞微分することは、わかっているのですがどうも計算がうまくいきません。
微分でできるかもしれませんが、使わなくとも解けると思います。

たとえば、
・t＝α, t＝β（ただし、0≦α＜β＜2π）のときに 同じ点を通ると置きます。

・上のときに、y座標は等しくなるはずですから、その式を立てます。
整理すると、α,βに対する関係式（具体的には、αとβの差や和についての式）が求められます。

・あとは、それぞれの場合について、x座標に対する式が成り立つかどうかを確認します。
最終的には、(α,β)の組合せが一通りしかないことが導かれるはずです。