- 締切済み
わからない問題があるので助けてください。
お久しぶりです。 わからない問題があったので教えていただけると助かります。 g(x) ≧ 0 なる制約の下でf(x) を最大化する問題を考える。 これが凸計画問題であるとき、(x1、λ1)がL(x、λ) = f(x) + λg(x) の鞍点ならば、x1は最適解であることを証明せよ。 という問題です。 お願いします。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 非線形計画問題
min f(x1,x2)=(x1-1)^2+x2^2 subject to x1+x2>=5 2x1+x2>=7 (計画変数x1,x2は非負) (1)KKT条件を示し、最適解x1*,x2*を求め、目的関数の最小値を示せ。 (2)最適解x1*,x2*が存在する鞍点において、制約条件式(x1+x2>=5)の右辺の値がσだけ増加したときの 目的関数の変化量を求めよ。また、このような変化量に対して、λ1*,λ2*がどのような意味をもつか簡潔に述べよ。 という問題です」。 (1)はノーマルな解法で解いたら, x1*=2,x2*=3,目的関数の最小値は10でした。 (2)については変化量を求めたら、5σ^2-10σでした。 ですが、「このような変化量に対して、λ1*,λ2*がどのような意味をもつか簡潔に述べよ。」 ところはわかりませんでした。 そこがわかる方がいらっしゃいましたら、ぜひご教授お願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 非線形計画法 主-双対問題
次のような制約付き最小化問題を考えています。 目的関数は非線形です。 min x1^2+x2^2 s.t. -x1-x2+4<=0 x1>=0 x2>=0 この問題の場合最適解は(x1,x2)=(2,2)であり、その時の目的関数値は8となります。 次に次式のような双対問題を考えます。 g(x)=-x1-x2+4とおき 双対関数 φ(u)=inf{x1^2+x2^2+u*(-x1-x2+4) : x1>=0 , x2>=0} =inf{x1^2-u*x1 : x1>=0}+inf{x2-2-u*x2 : x2>=0}+4*u 上記においてもしu>=0であれば、x1=x2=(u/2). （なぜなら、x1^2-u*x1をx1で微分するとx1=u/2となる。） u<0であるならばx1=x2-0であることに注目しますと。 φ(u)=-(1/2)*u^2+4*u for u>=0 =4u for u<0 となります． 双対関数がu>0の場合は最大がu=4であることに注目すると、その時の目的関数は8であり、主問題と双対問題の最適な目的関数値は一緒となります。 次に主問題を次のように制約を増やした最小化問題を考えます。 min x1^2+x2^2 s.t. -x1-x2+4<=0 -2*x1-3*x2<=0 x1>=0 x2>=0 これの最適解は上記の問題と同じにならないといけないのですが、 例えば、ラグランジュ関数F(x1,x2,λ1,λ2)を次のようにおき各変数で偏微分して最適解を求めると（λ：ラグランジュ乗数）、 F(x1,x2,λ1,λ2)=x1^2+x2^2+λ1*(-x1-x2+4)+λ2*(-2*x1-3*x2) 最適解はx1=12, x2=-8であり、その時の目的関数は208となり、前問と異なった解が得られました。 この原因は明確であり、ラグランジュ関数の中の各制約式が、偏微分して解を得ることで不等式制約ではなく等式制約とみなされたためです。 偏微分して解を求めなければいいのですが、どうしても偏微分でかいを求めたいために、、前門で示した双対問題を導入しましたが、結果は双対問題のほうでも偏微分するので一緒でした。 しかし、双対問題で得られた解。つまりuは主問題のλに相当し、KKT条件より必ず正である必要があるので、双対問題を解き、uが負になった制約式はの除いてそのあともう一度問題を解きなおす。つまり２番目の問題を前問に置き換える。 っといったことをして問題を解決させようとかんがえていますが、これは理論的に正しいのでしょうか。 これはほんの例題ですが、複数個の不等式制約式を扱い、かつ偏微分可能な最適化問題を解く際に、最適解に対して全てが有効制約になるとは限りませんので、どうかうまくいくアドバイスをください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 関数f(x)が区間Ｉで下に凸である事を利用した証明
関数f(x)が区間Iで下に凸である時、Iの任意のn個の点x1,x2,・・・xnに対して、不等式f((x1+x2+・・・+xn)/n)≦(f(x1)+f(x2)+・・・+f(xn))/nが成り立つ事を示せ、という問題で、下に凸である事の定義x1<x<x2で(f(x)-f(x1))/(x-x1)≦(f(x2)-f(x))/(x2-x)をどうやってつかってやれば証明がうまく出来るのでしょうか？ヒントをください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学１の問題です
数学の問題です。 超基礎の問題で申し訳ないのですが。 Xの二次関数ｙ＝ax^2-2a^2x+a^3+a^2-aが最大値６をとるとき。aの値を求めよ。 を解くのですが、「最大値が存在するから、グラフは上に凸である。a<0」 であるらしいのです。 頂点のy座標が６であるという条件だけで解いたのでaの値は二つでます。 解を一つにしぼるのにa<0を使いました。 次の問題（x^2-2ax+2a^2+2a-3の最小値は５であるとき、aの値を求めよ）では、解は二つ出ます。どうやら、それが答えのようです。 最大値だと解は一つで、最小値では解が二つになるわけではないのですよね・・・？ 一問目風にいうなら、二問目は「最小値が存在するから、グラフは下に凸である。a＞０」にはならないのですか？ どなたか教えてください！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形計画問題について教えてください。
この線形計画問題で、条件を１）と２）で変えたときに 最適解がどう違うのでしょうか？教えてください。 最大化：X1+2X2-X3+3X4+X5+2X6 条件：2X1+X2+3X3+X4+4X5+3X6≦7 １）0≦Xj≦1,j=1,2,3,4,5,6 ２）Xj∈{0,1},j=1,2,3,4,5,6
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 多変数関数の問題がわかりません．
1．条件g(x,y)=x^2+y^2-1=0のもとで，2変数関数f(x,y)=x^2+xy+y^2+5の最大値と最小値，また，f(x,y)が最大，最小となる(x,y)の値を求めよ． ２．F(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)に対する,∂F/∂x=∂F/∂y=0 (x,y)≠(0,0)の解をもつλの値を求めよ． という問題です． 解き方がわからないので，教えてほしいです
- 締切済み
- 数学・算数
- 制約つき最適化問題
最小化：f(x1,x2)=(x1)^2+(1/3)(x2)^2 制 約：g(x1,x2)=-x1-x2+1<0 という制約条件が1つの問題であれば、ψ=(-x1-x2+1)^2とすることで拡張目的関数が F(x1,x2,r)=f(x1.x2)+rψ(x1,x2) =(x1)^2+(1/3)(x2)^2+r(-x1-x2+1)^2 ただし(-x1-x2+1<0である時) となり、極小解を求めると、制約を満足していない領域においては dF/dx1=(1+r)x1+rx2-r=0 dF/dx2=3rx1+(1+3r)x2-3r=0 より x1=r/(4r+1) x2=3r/(4r+1) r=∞であるので、x1=1/4 x2=3/4と求まります。 --------------------------------------------------------------- 以前に制約が複数個にしたらどうなるのか質問させてもらったんですが、拡張目的関数を編微分するということは理論的にどういうことを意味しているのでしょうか。 単純に目的関数を各変数について編微分すると局所部分がわかるということなのですが、ペナルティ関数項が入った場合も同じようなことがいえるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形計画法の解について！
線形計画法の解、シャドウ価格の求め方がわからなくて、困っています。 問題は、以下のとおりです。 （線形計画法とシャドウ価格） 次の線形計画法の解、各制約のシャドウ価格を求めなさい。 制約条件 2x＋y≦7, x＋3y≦6, x≧0,y≧0 のもとで、目的関数 Z＝x＋y を最大化せよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学・・・不等式の問題でわからないことが・・・
数学・・・不等式の問題でわからないことが・・・ １＜Ｘ＜３を満たすＸがaX^2+82a^2-1)x-2a<0・・・F（x)を満たすようなa の値の範囲を求めよ。ただし、a>0とする。 という問題がありました。F(x)の解をαとβって考えると、α<１<X<３<βとなるための aの条件だから、F（x)は下に凸なので、 F(1)<0 ,F(3)<0になればいいいので、a>0っていうのを含めて考えると、求める条件は 0<a<1/3が答えだと思ったら、回答は 0<a<=1/3 と等号がついていました。 なぜでしょう？？？
- ベストアンサー
- 数学・算数
