コインを可算無限回投げたときの表裏

質問

とくに何かに由来するわけではない, 素朴な疑問です.

1/2の確率でコインを(可算)無限回投げ, 表が出たら1, 裏が出たら0を対応させることにより,
010010111111001100101111101100001111001…
のような無限の長さを持つ列Sを, ランダムに作ります.

このとき例えば, 0と1からなる有限列「11101100」がSのどこかの位置に現れる確率は, 明らかに1ですね.
(上の例だと実際 0100101111110011001011 *1110110* 0001111001… と途中で現れています)

では, 次に0と1からなる有限列全体の集合をΣとおきます. このとき,
「Σに含まれるどんな有限列に対しても, それがSのある位置に現れる」という確率というのはいくらになるのでしょう？

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

1 でしょうね。確率の完全加法性から導かれます。

Σが可算集合ですから、Σの各元に適当に番号を振って

Σ = {X1, X2, ・・・}

と表すことができます。すると、

Pr(Σのすべての元が S に現れる)
= 1 - Pr(X1, X2, ・・・ の中に S に現れないものがある)
= 1 - Pr(X1 がS に現れない、又はX2 がS に現れない、又は・・・)
≧ 1 – (Pr(X1 がS に現れない) + Pr(X2 がS に現れない) +・・・)
　　　 （ここで確率の完全加法性を使った）
= 1 – (0 + 0 + ・・・）
= 1

となって、Pr(Σのすべての元が S に現れる) = 1 が分かります。

お礼

なるほど, 可算であることを使えばすぐだったんですね…気がつきませんでした.
わりと以前から気になっていたことだったのでお答えいただけてよかったです. ありがとうございました.