可算無限についてお願いします

質問

集合Xが有限集合の時、

∪｛Xの、要素数ｋの部分集合を全て集めた集合｝　　(k=0,1,2…|X|)

は、Xのべき集合（２＾X）と同じものですよね。
でも集合Xが有限集合ではなく、自然数の集合Nであった場合、

∪｛Nの、要素数ｋの部分集合を全て集めた集合｝　　(k=0,1,2…)

は可算無限であり、Nのべき集合（２＾N）は非可算無限だと聞きましたが、
その違いはいったいなぜ起こるのですか？

※
集合Y（≠∅ ）に対し
ｆ：Y→２＾Y
となる全射が存在しないので、X=Nとすることで２＾Nが非可算である事は理解しています。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>しかし、その前者が｛2,3,4・・・｝という要素を本当に持たないのか気になります。

∪｛Nの、要素数ｋの部分集合を全て集めた集合｝　　(k=0,1,2…)
という定義から明らかでは？

A=∪｛Nの、要素数ｋの部分集合を全て集めた集合｝　　(k=0,1,2…)
とすると
Aは，Nの無限部分集合を要素として持たない．

それらしく書けば，Aの任意の要素Xをとると
XはAの定義により，ある自然数kが存在し，
｛Nの、要素数kの部分集合を全て集めた集合｝
の要素となる．つまり，Xは要素数kのNの部分集合．

決して，k=0,1,2,...としたって，和集合に
「k=∞」のときが含まれるわけではないのです．

お礼

＞決して，k=0,1,2,...としたって，和集合に
＞「k=∞」のときが含まれるわけではないのです．

なるほど、やはりこの定義では含めないのですね～。
ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

下のやつは「2以上の整数の集合」を要素に持たないのでは?

お礼

｛2,3,4・・・｝という集合の要素を
∪｛Nの、要素数ｋの部分集合を全て集めた集合｝　(k=0,1,2…)
は持たず、２＾Nは持つので、そこの差で前者が可算、後者が非可算となるということですね！

しかし、その前者が｛2,3,4・・・｝という要素を本当に持たないのか気になります。
そこの証明があれば嬉しいのですが・・・