無限にコイン投げした時の表と裏の出た回数の差は？

質問

1/2の確率で表、裏が出るコイン投げをし、表が出ると+1、裏が出ると-1をカウントするものとします。コイン投げを無限に繰り返していくとカウントの数値はどんな動きをしますか？
(1)無限に大きなプラス数値になる。
(2)無限に小さなマイナス数値になる。
(3)プラスとマイナスを往ったり来たりを繰り返す。
(4)その他

簡単に理由も教えていただけると有難いですが、なんとなくそう思うという方も歓迎です。

直感では、巨大な回数を繰り返して、表と裏が完全に同数となることの方が不自然なので、差はどちらかの方向に開いていくと思うのですが、理屈がよく分かりません。
宜しくお願いします。

回答No.5

tmppassenger · ベストアンサー

こう言うのを「1次元ランダムウォーク」といいます。「1次元ランダムウォーク」で検索すれば、色々ひっかかると思います。
例えば： https://ocw.u-tokyo.ac.jp/lecture_files/engin_05/4/notes/ja/ishikawa4.pdf

上にも書いてありますが、例えば「任意の数直線の位置について、ランダムウォークする粒子は、確率１でその位置を無限回横切る」という事が言えます。

お礼

ありがとうございます。
資料は難しすぎて理解できませんでしたが、回答としては
(1)無限に大きなプラス数値になる。
(2)無限に小さなマイナス数値になる。
(3)プラスとマイナスを往ったり来たりを繰り返す。
すべて正しくて、かつ(3)については0を挟んでの前提でしたが、0に限らず、例えば+1億だろうと-10億だろうと、どんな数でもそれを挟んで無限に往ったり来たりを繰り返すという事ですね。

無限の巨大さ、恐るべしです。

回答No.14

rin86ta

３（或いは考え方によっては４）です
「1/2の確率で表、裏が出るコイン」であれば、平均すると0になるでしょう
ですから、１と２はあり得ません
どちらかに差が開く時点で、そのコインは「1/2の確率で表、裏が出るコイン」ではなくなってしまうからです

ただ、絶対に「往ったり来たりを繰り返す」かはわかりません
+1が100回続いた後で-1が100続いた場合、往ったり来たりを繰り返してはいませんが「1/2の確率で表、裏が出るコイン」ってことにはなりますからね
多くの場合、そんな事にはなりませんが……。

お礼

理屈として納得がいく内容です。「どちらかに差が開く時点でそのコインは1/2の確率で表、裏が出るコインではなくなってしまう」はその通りですね。ありがとうございます。

回答No.13

hiro-hiro-hiro

回答 NO.12 補足

無限は XY 座標平面上にありませんよ。

回答No.12

hiro-hiro-hiro

こんにちは！

(x,y)=（コイン投げ回数、足し算の結果）とすると
全部表が出たら(x,y)=(1,1)=(2,2)=(3,3)...(a)
全部裏が出たら(x,y)=(1,-1)=(2,-2)=(3,-3)...(b)
コイン投げの結果を XY 座標にプロットして点をつなげると、
(a)y=x
(b)y=-x
の直線になります。
また確率 1/2 なので数多くコイン投げをすると、足し算の結果は 0 が最も多くなるでしょう。

このことから考えて、コイン投げを数多くしたときの足し算の結果の XY 座標へのプロットは y=x、y=-x に囲まれた範囲に見られ、密度は 0 が最も高いものと推察されます。

無限では動きがなく 0 です。

なお、コイン投げを無限にはできません。

と、思います。

お礼

私はカウント値の動きを数直線で想像してましたが、グラフ平面で考えると状況が分かり易いんですね。値が上下に無限に広がっていく感じが想像しやすいです。
「無限では動きがなく 0 」というのは、私の感覚の逆だったので面白いです。ありがとうございます。

回答No.11

nurenekonomiko

a) コインの表と裏には、普通デザインに差があるので、厳密には、表と裏が出る確率は 1/2 ではありません。だから、コイン投げの数を増やしてゆけば、その確率誤差が表われてきて、表が出やすいコインだったりする訳です。

回答No.10

takochann2

無限に大きなプラスや無限に小さなマイナスになることはない。
そうなった時点で平均が0に収束しなくなり矛盾している。

補足

カウント数値が任意のプラス数値に対してそれ以上に、かつ任意のマイナス数値に対してそれ以下になる、という状況を「無限に大きなプラスや無限に小さなマイナス」になると表現しました。

回答No.9

takochann2

「カウントの数値」の意味があいまいですが、
合計はプラスとマイナスを行ったり来たりする。
平均値は0に収束する。

お礼

カウント数値は無限に大きなプラスから無限に小さなマイナスまで動きまわるけど、平均値は0に収束するのですね。理屈で考えるとそうでないといけない気がしました。
ありがとうございます。

回答No.8

m5048172715

犬と散歩中に気付いてしまったのだけど、

a台目の投げ機で、n枚表。
b台目の投げ機で、n枚表。

となるときはある。全部の投げ機がお互いに同じ結果にならないということはないよねえ。

結果は、
-------------------------------------
0枚表であと全部裏
1枚表であと全部裏
2枚表であと全部裏
・・・
∞-1枚表であと全部裏
∞枚表であと全部裏
-------------------------------------
のどれかに、同じ確率でなる。

というのを、無限台数の投げ機で考える。これらの-1と+1の出現数の合計は、0を中心になりそうだ。

って想像した方が分かりやすい。

投げ機が1台だけでは、偶然の偶然の偶然の・・・偶然に、全部表というのが出てきてしまう。

と私は思ってしまった。

回答No.7

eroero4649

コインとすると「投げた条件（コインが曲がってるなど）で正確に確率50％とならない」なんてなってしまうので、もちょっと分かりやすく考えてみたいと思います。

白いボールを50個、黒いボールを50個用意します。これを箱に入れてよーく混ぜて、ランダムに1個だけ取り出します。このとき、どっちの色のボールが出てくる可能性はどれだけかっていうと、半々であることに質問者さんも意義はないと思います。
じゃあ白いボールを100個、黒いボールを100個としたらどうでしょうか？変わりませんよね。それならば白いボールを1万個、黒いボールを1万個としたら？あるいは白いボールを1億個、黒いボールを1億個としたら？
ボールが何個であろうと入っている割合が半々なら、確率50％ですよね。入っているボールの数が10億個なら白いボールが出てくる確率が高いってことはありません。

で、そのボールを取り出して白か黒か見たら、またボールを戻して混ぜてまた1個ボールを取り出します。それをくり返したら、どこかの場面で白が連続したり黒が連続することはありますね。けれど、無限回数にそれをくり返せば、やがて白黒が出てくる割合は限りなく50％に近づくはずです。白がどこかで連続して出てくれば、黒がどこかで連続して出てくる場面がありますから。それも含めて「全部ならせば確率50％」なんですよ。

元々確率論というのは「いかにしてギャンブルに勝つか」から生まれた分野なんですよね。他の数学が割と「人類の知的好奇心から来る知能のお遊びで、役に立つかどうかは関係ない」ものであることに対して、確率は「ギャンブルに勝ちたい」という役立ち（欲望）バリバリの分野なのです。だから純粋に数学を愛する人たちは確率が嫌いな人が多いんですよね。一方で金儲けが大好きな人たちは、確率大好きな人が多いですね・笑。
サイコロを使うギャンブルであるクラップスの数学的な勝率は44.4％で、数学的な期待値は99.17％です。つまり、微妙に負けるようにできている・笑。勝率45％とか期待値99％てのがよくできてると思いませんか。ちょっと頑張れば勝てそうな「期待」が持てる数字になっているのです。
で、実は数あるギャンブルの中でブラックジャックだけが理論的期待値が102％なのです。というわけで、数学的にギャンブルをやるならブラックジャックです。まあ実際はそうはいっても負けるケースが多いんですけどね。他人との駆け引きの部分があり、ここは運より実力ですから。

お礼

確率が効いてくるのは回数を多くした時ですから、一発ギャンブルでは予想外も起きて夢見がちですよね。回数を重ねれば確率通りで勝はないんですけど。
ありがとうございます。

回答No.6

m5048172715

以下は、なんとなくそう思うの私の例だけど、

その無限コイン投げを、無限の数だけあるコイン投げ機またはコイン投げ人が行うと、結果は、

(投げ機0台目) 0枚表であと全部裏 （書いてる途中で気付いたけど0台目というのはあるのか？）
(投げ機1台目) 1枚表であと全部裏
(投げ機2台目) 2枚表であと全部裏
・・・
(投げ機∞-1台目) ∞-1枚表であと全部裏
(投げ機∞台目) ∞枚表であと全部裏

という結果になり、表が出ると+1、裏が出ると-1の合計は、0を中心とする。0のときがもっとも多く出る。0から離れるに従ってそうなる時が少ない。という分布となる。

お礼

面白いです。
コイン投げの回数と同じだけのコイン投げ機を用意して、それぞれのコイン投げ機の結果分布を考えるのですね。結果分布とコイン投げを無限に繰り返したカウントの数値の動きは、関連があるはずですね。
ありがとうございます。

回答No.4

mekiyan

コイン投げをしたら、投げるときのコインの表・裏がそのまま出るので、確率を求めることはできません。

中が見えない袋に入れたコインを引っ張り出す表・裏は数万回もすれば、確立で半々になります。

お礼

ありがとうございます。