- 締切済み
三角関数について
三角関数をべき級数で定義した場合、単位円の円周上の点の座標が ( cos θ , sin θ ) であることは、どのように導かれるのでしょうか? 普通に学校で習うと、図形的なイメージによる三角比から始まって、三角関数、微分~テイラー展開~べき級数という流れで習うものだと思います。自分もそうやって習ってきました。が、べき級数を定義とすることも可能という記述も過去に何度か見かけた記憶があり、最近になって気になり出したので、自分なりに考えたり調べたりしたのですが、どうしてもべき級数での定義からスタートして図形的なイメージにたどり着くことができません。ネットで探すにもうまいキーワードが思いつけず、挫折してしまいました。 よろしくお願いします。
- snowmaaaaan
- お礼率59% (13/22)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数2
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
みんなの回答
- metzner
- ベストアンサー率60% (69/114)
こんにちは、三角関数を級数で定義した場合に、通常高校でならう図形的定義(三角比) がどのように導出されるかという事ですね。その概略を示したいと思います。 まず級数の定義から、 d/dx cosx = -sinx, d/dx sinx = cosx, cos(0) =1, sin(0) =0はすぐに導出できますね。 cos,sinの上での微分の結果により d/dx (cos^2x +sin^2x)=0 は容易ですね。これよりcos^2x +sin^2x=定数ですが、上のx=0での値により、この 定数は1になります。 すなわち級数の定義と微積分の計算だけから(図形的考察なしに) cos^2x +sin^2x=1 が導出されます。 ここで直交座標系(x,y)でx^2+y^2=1は原点が中心の半径1の円を表すことが(三角関数や微積分と無関係に)わかるので、以上より(cosx,sinx)はこの円上の点である事がわかります。 次にこの点(cosx,sinx)が円のどの位置にあるかについて考察します。まず x=0で(1,0)である事は既に示しました。またxを0から増加させると、x=0での微分係数から この点は反時計回りに進ことがわかります。 そこでxを0からwまで動かした時の点(cos(x),sin(x))の軌跡の長さを計算しましょう。 xをxからx+dxに微小に動かした時の軌跡の長さdLは 微小直角三角形に対するピタゴラスの定理より dL^2 ={(d/dx cosx)^2+(d/dx sinx)^2}dx^2 ですが、上式右辺はcos^2x +sin^2x=1よりdx^2となります。 すなわち dL =dx よって軌跡の長さはwとなります。 すなわち円弧の長さがwの時、点は(cos(w),sin(w))にいます。 この円弧の長さwは原点からみたこの円弧の角度wです(これが角(平面角=ラジアン)の定義)。 以上より通常の三角比の定義が定理として得られました。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>…円周上の点の座標が ( cos θ , sin θ ) であることから e ^ ( i θ ) をイメージするという説明のように見えるのですが。。。 p.10 の挿し絵をご覧になってますネ。 そのすぐ上にある「マクローリン展開」をご覧ください。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
たとえば、{指数 三角 複素関数} の検索を見ていくと、参考 URL の pdf あり。 その中の、 第2講オイラーの等式と指数関数 2.2 オイラーの等式 p.10 … にある e^(iθ) の級数展開に関する 2 ~ 3 行のコメントが、標準的な発想らしいです。
お礼
ありがとうございました。思っていたより簡単で、腰が抜けてしまいました。
補足
すみません。参考URL 拝見しましたがまだよく分からないので、もう少し説明していただけませんでしょうか。わたしには、円周上の点の座標が ( cos θ , sin θ ) であることから e ^ ( i θ ) をイメージするという説明のように見えるのですが。。。
関連するQ&A
- 三角関数と複素数について
三角関数 sin(Θ),cos(Θ) ですが、そのΘに複素数とすることは可能でしょうか。定義されているでしょうか。また高校数学でおなじみのsin(A+B), cos(A+B)についてsin(A+iB), cos(A+iB)などの展開も可能なのでしょうか。 三角関数は直角三角形の斜辺に対する底面等の長さの比と定義されてきたので実数のみのように思いますが、級数展開して多項式にすると、複素数を代入することは可能のようにも見えます。三角関数の定義と複素数の関係はどうなっているのでしょうか。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 【数学IA】図形と計量、三角比について
三角比における角θの範囲は0°≦θ≦180°に広げて定義できるそうですが、これについて質問があります。 この定義は三角比を座標平面上で考えた時にだけあてはまるモノじゃないんですか? 余弦定理の問題など図形を描いて考える問題であたりまえのようにcos120°など鈍角の三角比が登場していますよね。 そこで辻褄を合わせるために「図形を座標平面上で考えればいいのでは?」と思ったのですが、余弦定理などの問題では図形が座標平面上に存在しているなどといった前提のようなモノでもあるのですか? 座標平面上で考えているからこそ三角比にマイナスが生じるのだと思うのですが…。 初歩的な質問だとは思いますが回答していただけると嬉しいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 教えてください 三角関数?
三角関数を微分すると sin がcosになり cos が-cosになり tan が1/cos^2 になるときいたのですが、 なぜそのようになるか解りません。 教えていただけませんか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数って何ですか?
三角関数ってなんでしょうか? 高校3年にもなってこんなこと言ってると笑われますけれど、 具体的に何?と同級生に聞いても「三角関数は三角関数」としか言わないあたり、 三角関数が何かを詳しく知る人は周りにはいないみたいで・・・。 数式を使う際には形で覚えるので良いのですが、 図形から読み取るとなると少し考えてしまいます。 三角関数と言えばsinやcosとは言えますが、 じゃあsinやcosは何を示しているのか、となると正直さっぱりです。 具体的に教えていただけないでしょうか? お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 鈍角の三角比の「定義」について
座標上で半径 r の円周上に点 P(x,y) を取り、 円の中心点は0とします。 点 P が第二象限にあるとき(つまりθが鈍角のとき) 鋭角の三角比の定義 ・sinθ=y/r ・cosθ=x/r ・tanθ=y/x と同じ式で鈍角の三角比も定義しますよね?? 教科書などには「定義する」と書いてあるだけなのですが、 これには証明など要らず、「定義」で片付けてしまってよいのでしょうか? よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 三角関数の合成について
ただいま浪人中のものですが、現役の頃三角関数の合成を (x軸にsinθ、y軸cosθにとして)座標を使って解く方法を習ったのですが、合成後がsinθなる時はわかるのせすが、合成後がcosθになるときの、座標使っての三角関数の合成の仕方を教えて頂けないでしょうか?お願いします。m(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- θ>90°の鈍角に対するsin cos tan
・三角比は、θによってできる辺の比 斜辺分の対辺などだと思いますが、θ>90°の鈍角に対するsin cos tanについては、三角比での定義はできず、単位円を使った座標の定義という別物と考えてあってますか? 例えばsin120°を考えるとき外角の60°をθとした辺の比でそれをsin120°としてますが…←これは忘れて ※sin120°が外角60°の辺の比と考えるの変な気がして… θ>90°の鈍角に対するsin cos tanの定義は、三角比ではなく三角関数で、単位円で定義し、 ・θにより定まるx座標をcos、y座標をsinのように、角度による座標の位置を出す。みたいな考えであってますか?
- 締切済み
- 数学・算数
- これらの三角比の覚え方
こんにちは。 三角比sin(90°-θ)=cosθ のような(90°-θ)の公式はθと90°-θを内角に持つ 直角三角形をイメージすれば理解できるのですが、 sin(90°+θ)=cosθなどの(90°+θ)の公式や、 (180°-θ)の公式が どのように理解すればいいかわかりません。 図形を用いて理解する方法ないでしょうか・・。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の微分に関して質問させてください
三角関数の微分に関して質問させてください 三角関数を微分する時分からない部分があります。お力添えしていただければ幸いです。 sin(x)*sin(x)=sin^2x sin^2(x)をxで微分すると 2*cos(x)*sin(x)となるようなのですが過程を詳しく知りたいのです。また、 sin(x)cos(x)をxで微分した場合はどのようになるのでしょうか?よろしければお教えください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます! マクローリン展開のほうを見てじっくり考えたいと思います。